《高等数学》电子课件（同济第六版）第十二章 第7节 傅立叶级数.ppt

* 例3. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 将 则有 作奇周期延拓, * 注意: 在端点 x = 0 , ? , 级数的和为0 , 与原函数的值不同 . * 再求余弦级数. 将 则有 作偶周期延拓 , * 说明: 令 x = 0 可得 即 * 内容小结 1、周期为 2? 的函数的傅立叶级数及收敛定理 . 间断点) 其中 注意: 若 为间断点 , 则级数收敛于 * 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3、 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅立叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 思考与练习 在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅立叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 2、周期为 2? 的奇、偶函数的傅立叶级数 * 作业12-7: P315 1(1) , (3) ; 2 (1) ，3，5，7 * 由此定理可以看出 , 函数展成傅立叶级数的条件比 展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛 应用的重要原因 . * * 一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 不同频率正弦波逐个叠加 * * * * * * 二. 三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : (谐波迭加) 令 则得函数项级数 称上述级数为三角级数 . ?为角频率, ?为初相 ) * 定理 1 组成三角级数的函数系 在 上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 . 证: 同理可证 : * 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有 * 三. 周期为 2? 的周期函数的傅立叶级数 定理 2 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, 在 逐项积分, 得 ① ② * ① 类似地, 用 sin k x 乘①式两边, 再逐项积分可得 利用正交性 * 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅立叶 的傅立叶级数 ，记作 称为函数 的傅立叶系数 ; 系数为系数的三角级数 ① 称为 法国 1768-1830 * 定理3 (收敛定理，展开定理) 设 f (x) 是周期为 2? 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ; 2) 在一个周期内只有有限个极值点 ; 则 f (x) 的傅立叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 ( 证明略 ) 为 f (x) 的傅立叶系数 . 注意: 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多 x 为连续点 德国 1805-1859 * 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅立叶系数 将 f (x) 展成傅立叶级数. * 当 当 * 说明: 1) 根据收敛定理可知,当 时, 级数收敛于 2) 傅氏级数的部分和近似 f (x) 的情况 * 例2. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为 将 f (x) 展成傅立叶级数. 解: * 说明: 当 时, 级数收敛于 * 周期延拓 傅立叶展开 在 上的傅立叶级数 四. 定义在 [–? ,?]上的函数 f (x) 的傅氏级数展开法 其它 * 例3. 将函数 展成傅立叶级数 . 解: 将 f (x)延拓成周期 为2? 的周期函数 F(x) , 则 * 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 . 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 说明: * 其傅立叶级数为 是以 为周期的周期函数 , 1. 为 奇 (偶) 周期函数，其傅立叶系数与 傅立叶级数有何特点？ 思考与练习 其傅立叶系数为 * 2. 设周期函数在一个周期内的表达式为 则它的傅立叶级数在 处收敛于 在 处收敛于 ; . 提示: * x 为连续点 x 为间断点 五、 正弦级数和余弦级数 * 1. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅立叶级数 定理 对周期为2?的奇函数 f (x) , 其傅立叶级数为 正弦级数 ,它的傅立叶系数为 周期为2?的偶函数 f (x) 其傅立叶级数为余弦级数 , 它的傅立叶系数为 * 例1. 设 的表达式为 将 是周期为 2? 的周期函数, 它在 解: 若不计 则 是周期为 2? 的奇函数, 因此 展成傅立叶级数 . 上 * 根据收敛定理可得 的正弦级数: * 例2. 将周期函数 展成