高等数学_第十二章_无穷级数.ppt

（间接法）求数项级数和： 将其转化成幂级数求和函数问题. 原式 推广： ， . 例10 求 的和. 求 ∵ ∴ ，收敛区间为（-1，1）. 代入， 发散， 发散. ∴收敛域为（-1，1） . 例11 求 的和. 代入求和: 解：设 ? 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 ? 直接展开法 — 利用泰勒公式 四、函数的幂级数展开法 熟悉常用函数的幂级展开式： 1、 2、 3、 4、 5、等比级数： 例12 1） 2） 3） 4） ∵ ∴ ∴ 例13 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 练 习 题 练习题简答 一、1. B； 2. B；3. B；4. C；5. D；6. C；7. D； 8. A. 二、条件收敛. 三、 . 四、 1. ； 2. . 五、 六、 七、 * ( L. P371 第一节) (L.P373 表6-1 ) (参考L. P374 说明② ) * ( L. P374, 5 ) * * * * * * * 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第九章 主 要 内 容 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散性； 求幂级数收敛域； 求和函数； 函数展开成幂级数. 当 时为数项级数; 当 时为幂级数; 为傅立叶级数. 为傅氏系数)时, *当 对于函数项级数 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用其它方法判别 *积分判别法 部分和极限 比值审敛法 一、数项级数的审敛法 正项级数比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且 则：⑴若级数 收敛，则级数 也收敛； ⑵若级数 发散，则级数 也发散. 常用来比较的级数： 级数 当 时收敛， 当 时发散. （1） 例如 （2）等比级数 例如 极限形式的比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且 ⑴若 则级数 与级数 同时收敛，同时发散； ⑵若 且级数 收敛，则级数 收敛； ⑶若 且级数 发散，则级数 发散. 3. 任意项级数审敛法 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 为收敛级数， 概念: 设 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛, 若 发散 , 称 条件收敛. 例1 判别下列级数的敛散性: 解答提示: (1) 据极限形式的比较判别法, 原级数发散 . 因调和级数发散, 利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 收敛 再由比较法可知原级数收敛 . 利用比值判别法, 可知原级数在 时发散， 时收敛； 时仅当 收敛. 例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ; 0 p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛, 原级数绝对收敛 . 故 因 单调递减, 且 但 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 因 = 故原级数绝对收敛 . ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 处的敛散性 . ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 二、求幂级数收敛域的方法 例4 求下列幂级数的收敛域 D. 1） ∴ 解： 收敛区间 因为 所以收敛域 2） ∴ 解： 收敛区间(-1,3). 因为 所以原级数收敛域为 [-1,3). 1） 解： ∴ ∴ ，原级数收敛. 例5 求下列幂级数的收敛半径 R . 2） 解： 时 收敛 . ∴ ∴ ? 求部分和式极限 ? 初等变换法: 分解、套用公式 ? 映射变换法 （在收敛区间内