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第十二章 无穷级数 一、基本要求及重点、难点 基本要求 (1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 (2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P—级数的收敛性，掌握正项级数的比值审敛法。 (3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。 (4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对幂级数的和函数只要求作简单训练）。 (5)会利用与的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。 (6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。 (7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开成傅立叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展开成傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。 重点及难点 重点：掌握正项级数的审敛法，能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。 难点：一般项级数的审敛法，求幂级数的和函数，将函数展开成幂级数。 二、内容概述 1．常数项级数 （1）一般概念 定义 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式，称为级数，记为，其中第n项叫做级数的一般项；级数的前n项和称为级数的第n个部分和，简称部分和。 定义 如果级数的部分和数列有极限s，即若，则称无穷级数收敛，这时极限s叫做该级数的和，并写成 ; 如果没有极限，则称级数发散。 （2）收敛级数的基本性质 性质1、若收敛于和也收敛，且其和为ks，其中k为常数。 推论：若，则与同时收敛或同时发散。 性质2、若两个级数、收敛，且其和分别为，则级数也收敛，其和为。 此性质是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。 注意 (i)若收敛，发散，则级数发散； (ii)若和都发散，未必发散，可能收敛也可能发散。 性质3、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 性质4、收敛级数任意加括号所成的新级数，仍然收敛于原级数之和。 注意 发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛。反过来说，收敛级数去括号后未必仍收敛。 推论：若加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。 性质5（级数收敛的必要条件） 若级数收敛，则。 注意 一般项趋于0的级数，不一定收敛。 推论 若，则级数发散。 我们常用这个推论来判定某些级数是发散的。 正项级数及其审敛法 一般概念 定义 这种级数称为正项级数. 定理 . 该定理说明若正项级数发散，则无界。 比较审敛法 ,且,若收敛,则收敛； 若发散，则发散。 比较审敛法的特点是，判断一个正项级数是否收敛需找一个已知收敛性的级数与之比较。因此，比较审敛法的不便之处在于需有参考级数. 在利用比较审敛法时要掌握一些已知其收敛性的级数，常用的参考级数有几何级数, P-级数, 调和级数： 几何级数当时收敛，其和为；当时发散。 (ii)P-级数 （3）比较审敛法的极限形式 设与都是正项级数,如果, 则(i) 当时, 二级数有相同的收敛性; (ii) 当时，若收敛, 则收敛; (iii) 当时，若发散, 则发散; 比较审敛法用得比较多的是它的极限形式，利用极限形式可以省去放大与缩小不等式的麻烦。 （4）比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法) 设是正项级数,如果, 则当时级数收敛;当或为时级数发散; 当时级数可能收敛也可能发散. 利用比值审敛法判别级数的收敛性，只需要通过级数本身就可以进行，而不必象比较审敛法那样还必须找出一些收敛性为已知的其他级数，这是它的优点。当然，当极限不存在及极限时比值审敛法失效，只能改用其他方法。 注意 (i)当时比值审敛法失效; (ii)条件是充分的,而非必要. （5）根值审敛法(柯西判别法) 设是正项级数,如果,则时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 注意 (i)比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都只适用于正项级数。 (ii)对于同一正项级数，有时比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都行之有效， 但各种判别法的繁简程度可能不同。 (iii)由于比较审敛法需要有一个已知其敛散的级数进行比较，因此在使用上有 时没有比值审敛法与根值审敛法方便；但比值审敛法与根值审敛法都是特殊形式的比较审敛法。因此，若比值审敛法与根值审敛法不能判定其收敛性的正项级数，可以考虑用比较审敛法判定其收敛性。 3.交错级数及其审敛法 定义