《高等数学》电子课件（同济第六版）第十二章 第4节 函数展开成幂级数.ppt

* 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? * n阶泰勒公式 若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 , 则在该 其中 ( ? 在 x 与 之间) 称为拉格朗日余项 . 此式称为 的 阶泰勒公式 , 邻域内有 : * 如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 , 则称下 为 的泰勒级数 . 列级数 当 时, 泰勒级数变为 . 称为麦克劳林级数 . * 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 麦克劳林级数 * 定理 1 各阶导数, 设函数 在点 的某一邻域 内具有 则 条件是 的泰勒公式中的余项满足 证明: 令 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 * 定理2 若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 则在收敛区间内 显然结论成立 . * 二. 函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由上述泰勒级数理论可知 , 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 是否 内 为0 . 函数 展开成幂级数 的步骤如下 : * 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ? 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 故 ( ? 在 0 与 x 之间 ) * 例2. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ? 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 * 类似可推出 * 例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意常数 . 解: 容易求出 于是 ? 由于 因此, 对任意常数 级数在开区间 内收敛 . m , * 为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 推导 * 由此得 称为二项展开式 . 说明： 1 . 在 处的收敛性与 有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. * 对应 的二项展开式分别为 * 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将 所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 把 x 换成 , 得 * 例5. 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解: 从 0 到 x 积分 上式右端的幂级数在 收敛 , 而 在 有 定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛 区间为 利用此题可得 * * * * 例8. 将 展成 解: 的幂级数. * 例9. 将 展成 的幂级数. 解: * * 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 * 当 m = –1 时 * 作业12-4 P285 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 * 返回