《高等数学》电子课件（同济第六版）第十二章 第3节 幂级数.ppt

* 第三节 幂级数 一. 函数项级数的概念 设 称 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 称 为函数 项级数的收敛点 , 所有收敛点的全体称为函数项级数的 收敛域 ; 若常数项级数 称 为函数项级数的 发散点 , 为定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有发散点的全体称为函数项级数的发散域 . * 在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数 称它为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 * 例如 , 等比级数 它的收敛域是 当 时 , 有和函数 它的发散域是 或写作 又如 , 级数 但当 时 , 级数发散 ; 当 时 收敛 , 所以级数的收敛域仅为 * 二. 幂级数及其收敛性质 形如 的函数项级数称为幂级数 , 其中数列 称 下面着重讨论 的情形 , 即 例如 , 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. * 收 敛 发 散 发 散 收敛 发散 定理 1 ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x ,幂级数都绝对收敛 ; 在 时收敛 , 反之 , 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 于是存 收敛 , 在常数 M 0 , 使 则必有 当 时 , 收敛 , 也收敛 , 故原幂级数绝对收敛 . * 假设有一点 反之 , 若当 时该幂级数发散 , 这与所设矛盾, 故 满足不等式 下面用反证法 进行证明 . 所以若当 时幂级数发散 , 则对一切 收 敛 发 散 发 散 由Abel 定理可以看出 , 中心的区间 . 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点 收敛 发散 的收敛域是以原点为 满足 且使级数收敛 , 前面的证明 , 根据 级数在点 也应收敛 , 假设不真 . 的 x , 原幂级数也发散 . * R = 0 时 , 幂级数 仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时 , 幂级数 在 收敛 ; 幂级数 在 收敛 ; 在 外发散 ; 在 可能收敛也可能发散 . 称为收敛区间 . 称为收敛半径 收敛区间加上端点的收敛点称为收敛域。 * 定理2. 若幂级数 的系数满足 则: 1) 当 时 , 2) 当 时 , 3) 当 时 , 证: 对级数 1) 若 则根据比值审敛法可知 当 即 时, 原级数收敛 ; 当 即 时 , 原级数发散 . 因此级数的收敛半径 * 2) 若 则根据比值审敛法可知, 数绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数都 发散 , 对任意 x 原级 因此 因此 定理2 的收敛半径为 说明: 据此定理 * 的收敛半径及收敛域 . 解: 对端点 x = 1 , 级数为交错级数 收敛 级数为 发散 故收敛域为 对端点 例1.求幂级数 * 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 * 例3. 求幂级数 的收敛域 . 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数成为 此级数发散 ; 当 t = – 2 时, 级数成为 此级数条件收敛 ; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 * 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 例4 求幂级数 收敛域. * 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛域为 * 例5. 求幂级数 的收敛半径 . 解: 由于级数缺少奇次幂项 , 不能直接应用定理 2 . 可直接根据比值审敛法求收敛半径 . 方法如下: 当 时级数收敛 当 时级数发散 故收敛半径为 即 即 * 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. * 原级数发散. 收敛; 发散; * 三. 幂级数的运算 定理3 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 其中 以上结论可用部分和的极限证明 . 为常数 ) , 则有 : * 定理4 若幂级数 的收敛半径 则其 (证明