《高等数学》电子课件（同济第六版）第十二章 第8节 一般周期函数的傅立叶级数.ppt

* 一. 以2l 为周期的函数的傅立叶展开 二、内容小结及作业 * 第八节 一般周期函数的傅立叶级数 周期为 2l 函数 周期为 2? 函数 变量代换 作傅氏展开 将 的傅氏展开式 * 定理 设周期为2l 的周期函数 则它的傅立叶展开式为 ( 在 f (x) 的连续点处 ) 其中 一. 以2l 为周期的函数的傅立叶展开 满足收敛定理条件, * 证明: 令 则由 令 则 所以 是以2?为周期的周期函数 , 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅立叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) 变成 * ( 在 F(z) 的 连续点处 ) 其中 令 ( 在 f (x) 的 连续点处 ) * ( 在 f (x) 的 连续点处 ) 其中 如果 f (x) 为奇函数 , 则有 其中 ( 在 f (x) 的连续点处 ) * 如果 f (x) 为偶函数 , 则有 ( 在 f (x) 的连续点处 ) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处 , 傅立叶 级数收敛于 * 例1. 交流电压 经半波整流后负压消失, 试求半波整流函数的傅立叶级数. 解: 这个半波整流函数的 周期是 , 它在 [ , ]上的表达式为 * 时 * n 1 时 * 由于半波整流函数 f ( t ) 在 直流部分 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小 , 因此在实际应用中取展开式中前几项就够了 . 说明: 交流部分 上连续, 由收敛 定理可得 * 例2. 把 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数 . 解: (1) 将 作奇周期延拓, 则有 在 x = 2 k 处级数收敛于何值 ? * (2) 将 作偶周期延拓 , 则有 * 说明: 此式对 也成立 , 据此有 由此还可导出 * 当函数定义在任意有限区间上时, 其傅立叶展开方法为: 方法1. 令 即 在 上展成傅立叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅立叶级数 . * 方法2. 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将 代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 . * 例3. 将函数 展成傅立叶级数. 解: 令 设 将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数 , 则它满足收敛定理 条件 . 由于F(z) 是奇函数，故 * 二、内容小结 1. 周期为 的函数的傅立叶级数展开公式 ( x ? 间断点) 其中 当 为奇 函数时 (偶) (余弦) 2. 在任意有限区间上函数的傅立叶展开法 变换 延拓 为正弦 函数 . * * 思考与练习 1. 将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形 ? 答: 易看出奇偶性及间断点 , 2. 计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算时 , 如出现某些正整数作分母, 这些正整数对应的系数就必须单独计算 . 从而便于计算系数和写 出收敛域 .