线性代数教学课件作者张德全电子教案3-3课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §3.3 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、求矩阵秩的方法 一、矩阵秩的概念 定义1 在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列（k≤m, k≤ n），位于这些行列交叉处的k2个元，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式. 一、矩阵秩的概念 定义2 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么称为D矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作r(A).并规定零矩阵的秩等于0. 一、矩阵秩的概念 一、矩阵秩的概念 例4 求矩阵A和矩阵B的秩，其中 一、矩阵秩的概念 例4 求矩阵A和矩阵B的秩，其中 一、矩阵秩的概念 解：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的首非零元为对角元的三阶行列式 是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此r(B)=3 二、求矩阵秩的方法 从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的. 然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形。 但矩阵经初等变换后它的秩是否保持不变呢？ 下面的定理对此作出肯定的回答. 二、求矩阵秩的方法 定理1 若A～B，则r(A)=r(B).即，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 二、求矩阵秩的方法 例5 求矩阵A的秩. 二、求矩阵秩的方法 作业 习题三 P70.一、4 二、 7，8 三、7，8，9，10，11 * * k阶子式 m×n阶矩阵A的k阶子式共有CmkCnk个. 最高阶非零子式 定义法 解：在A中，容易看出一个二阶子式 而A的三阶子式只有一个∣A∣ ，经计算可知，∣A∣ ≠0,因此,r(A) =2. 定义法 例4 求矩阵A和矩阵B的秩，其中 ？ 【注】求矩阵A的秩的方法： A→行阶梯形， 行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩. r(A)=? 行阶梯形中非零行的行数 解: 因为 最后一个矩阵有3个非零行，所以，秩(A)=3 . 矩阵秩的性质 矩阵秩的性质 先复习再写作业 * * *