线性代数教学课件作者张德全电子教案3-1课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §3.1矩阵的初等变换 一、矩阵的行初等变换 二、矩阵的列初等变换 三、矩阵的等价 一、矩阵的行初等变换 定义1 下面三种对矩阵的变换，称为矩阵的行初等变换： （1）互换矩阵的两行.如第i、j两行互换，记为 一、矩阵的行初等变换 定义1 下面三种对矩阵的变换，称为矩阵的行初等变换： （1）互换矩阵的两行.如第i、j两行互换，记为 （2）用任意非零常数K乘矩阵的第i行，记为 一、矩阵的行初等变换 定义1 下面三种对矩阵的变换，称为矩阵的行初等变换： （1）互换矩阵的两行.如第i、j两行互换，记为 （2）用任意非零常数K乘矩阵的第i行，记为 （3）把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，其中k任意常数，记为 一、矩阵的行初等变换 为了便于表示，约定：对A实施一次行的初等变换，变成了B，记成： 一、矩阵的行初等变换 一、矩阵的行初等变换 一、矩阵的行初等变换 判断是否行阶梯形矩阵 ？ 一、矩阵的行初等变换 如果对例1中的行阶梯形矩阵再进一步施初等行变换，可以使它更加简化. 一、矩阵的行初等变换 一、矩阵的行初等变换 判断是否是行最简形矩阵 ？ 一、矩阵的行初等变换 （1）初等行变换可以将任意m×n阶矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. （2）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等.所以，一定要用“ ”来连接变换前后的矩阵. （3）三种初等行变换都是可逆的.即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵. 一、矩阵的行初等变换 二、矩阵的列初等变换 定义2 下面三种对矩阵列的变换，称为矩阵的列初等变换： （1）互换矩阵的两列.如第i,j两列互换，记为 （2）用任意非零常数k乘矩阵的第i列，记为 （3）把矩阵的第j列的k倍加到第i列上，其中k任意常数，记为 二、矩阵的列初等变换 约定：对A实施一次列的初等变换，变成B，记成： 二、矩阵的列初等变换 行初等变换具有的性质列初等变换也具有. 二、矩阵的列初等变换 定义3 矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵的初等变换. 三、矩阵的等价 定义4 如果矩阵A经过有限次行初等变换变成的矩阵B，那么，称A与B行等价，记为 三、矩阵的等价 如果矩阵A经过有限次初等变换（行初等变换，或者列初等变换）变成矩阵B，那么，称A与B等价，记为A～B. 三、矩阵的等价 等价矩阵具有如下性质： （1）反身性：A ～ A； （2）对称性：若A～B，则B～A； （3）传递性：若A～B，B～C，则A～C. 三、矩阵的等价 例2 将矩阵A3化为行最简形矩阵. 三、矩阵的等价 三、矩阵的等价 例3 已知A,把(A,E)化成行最简形. 三、矩阵的等价 三、矩阵的等价 若把(A,E)的行最简形记作(E,X)，则A ～ X，并可以验证AX=E，即X=A-1. 对于任何方阵A， A ～ X的充分必要条件是A可逆，且当A可逆时， [注意：此处仅进行行初等变换]. 三、矩阵的等价 对行最简形矩阵再施以列初等变换，可化成一种形状更简单的矩阵，称为标准形. 例如,对行最简形矩阵 三、矩阵的等价 一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换（初等行变换和初等列变换）把矩阵A化为标准形 三、矩阵的等价 【注】 标准形F由m、n、r三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩阵中非零行的行数. 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵. 本节课后可以完成的作业 （习题三） 一、填空题 1，2 二、选择题 1，2，3，4 三、计算与证明题 1 * * 例1 设矩阵A,对A施以行初等变换. 解： 行阶梯形矩阵 定义：称上述类型的矩阵为行阶梯形矩阵.其特点为： （1）每一行首位非零元素（简称首非零元）所在列的位置逐行增加； （2）零行在非零行下面. 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 行最简形矩阵 定义：矩阵A称为行最简形矩阵，其特点为： （1）它满足行阶梯形矩阵的特征，是一个行阶梯形矩阵； （2）它每行中首位非零元素是1； （3）首位非零元素所在列除1外，其它元素都是零. ， ， ， ， 行最简形矩阵 可逆 可逆 列初等变换 初等变换 初等变换 初等变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等，那么，它们之间具有什么关系呢？ ? 如果矩阵A经过有限次列初等变换变成的矩阵B，那么，称A与B列等价，记为. 等价 A～B ～ 解 解 行最简形 行阶梯形 从而得A3～ E3 解 r r 标准形 矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位阵，其余元素全为0 . 标准形 *