线性代数教学课件作者张德全电子教案3-4课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §3.4 线性方程组的解 一、线性方程组的矩阵表示 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 三、齐次与非齐次线性方程组 四、线性方程组的解向量 一、线性方程组的矩阵表示 定义：一般线性方程组是指 一、线性方程组的矩阵表示 对于线性方程组（Ⅰ）来说，需要解决以下几个问题： （1）什么情况下，线性方程组（Ⅰ）有解？（解的存在性判别问题） （2）如果线性方程组（Ⅰ）有解，其解是否唯一？（解的唯一性问题） （3）如果线性方程组（Ⅰ）有解，并且解不唯一，那么，解与解之间有什么关系？（解的结构问题） 本节仅围绕着前两个问题展开讨论. 一、线性方程组的矩阵表示 一、线性方程组的矩阵表示 称为 线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵. 一、线性方程组的矩阵表示 一、线性方程组的矩阵表示 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 线性方程组的初等变换 （1）交换线性方程组（Ⅰ）两个方程的位置； （2）线性方程组（Ⅰ）某个方程的两边同乘非零常数k； （3）线性方程组（Ⅰ）某个方程的两边同乘常数k后加到另一个方程上. 称为线性方程组的初等变换. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 定理1 线性方程组的初等变换不改变线性方程组的解。 由定理1可知，对线性方程组施行线性方程组的初等变换，就是对线性方程组施行同解变形。 利用线性方程组的初等变换求解线性方程组，可得线性方程组求解的基本方法——消元法. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 2.用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 如果仔细分析一下求解线性方程组的运算过程，就会发现实际参与运算的全都是系数.这样，在实际计算当中，完全可以隐去除系数以外的所有符号（这种方法又称分离系数法），由线性方程组的增广矩阵代表该线性方程组，只需对增广矩阵施行一系列矩阵的初等行变换，就可得到与原方程组同解方程组的增广矩阵。这就是线性方程组求解的另一种方法——矩阵的初等变换法. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 例1 讨论线性方程组的解是否存在。如果存在，求线性方程组的解。 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 例2讨论线性方程组 的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 所以， 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 例3 论线性方程组 的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 于是，得到 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 上述的做法都是对线性方程组的增广矩阵实施行初等变换，在化增广矩阵为阶梯形矩阵的过程中完成线性方程组的求解. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 用矩阵的行初等变换法求解线性方程组的方法：设有线性方程组（Ⅰ），（A,b）是它的增广矩阵，A是系数矩阵，b是常数项，当增广矩阵经过一系列行初等变换化为阶梯形矩阵，并且系数矩阵A化为行最简形矩阵时，即 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 如果ds+1≠0时，则原线性方程组无解； 如果ds+1=0 ，则原线性方程组有解，同时当s=n时，解唯一，其解为： 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 如果ds+1≠0时，则原线性方程组无解； 如果ds+1=0 ，则原线性方程组有解， 同时，当s=n时，解唯一，其解为： 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 定理2 设有线性方程组（Ⅰ），(A,b)是它的增广矩阵，A是系数矩阵. （1）线性方程组（Ⅰ）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.即r( A ) =r (A,b)； （2）线性方程组（Ⅰ）有唯一解的充分必要条件是：r( A ) = r(A,b) = n； （3）线性方程组（Ⅰ）有无穷多组解的充分必要条件是：r( A ) = r(A,b) n.其中，n为未知量的个数； （4）线性方程组（Ⅰ）无解的充分必要条件是：r( A ) r(A,b)。 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 【注】(A,b)的秩只有两种情况：r(A,b)=r(A)或 r(A,b)=r(A)+1 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 例4 方程组 在什么条件下有解？有解时求出方程组的解. 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 解 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 由定理2知，当d= 0时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r( A ) =r(A,b) =3，方程组有解.又 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 所以，原方程组的一般解为 二、用矩阵的行初等变换法求解线性方程组 当方程组的未知量的系数为数字时，解线性方程组的一般方法是：用消元法对增广矩阵化简求解： 三、齐次与非齐次线性方程组 三、齐次与非齐次线性方程组