线性代数教学课件作者张德全电子教案4-2课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §4.2向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组等价的概念 一、线性组合 定义1 设有n维向量 对于m个n维向量组成的向量组 如果存在实数 使得 成立， 则称向量 是向量组 的线性组合， 或称向量 可以由向量组 线性表出或线性表示. 一、线性组合 例1 设 容易验证 即，称 是向量组e1e2e3 的线性组合， 或称 可以由向量组 e1e2e3 线性表出或线性表示. 一、线性组合 例2 任何一个n维向量 都是n维单位向量组： 的线性组合 证明: 因为 一、线性组合 例3 零向量是任意向量组的线性组合. 证明 因为 一、线性组合 例4 设 向量是向量组 之中的一个向量， 则 是 的一个线性组合. 证明 :不失一般性，设存在 且 ，则 一、线性组合 例5 设? 是 的线性组合， 则? 也是 的线性组合. 证明: 因为? 是 ?1 , ?2 , …, ?i的线性组合，所以存在k1,k2, …, ki，使得? =k1?1 +k2?2+ …+ ki?i成立.故 也成立， 因此,? 也是 的线性组合. 该例说明，若向量是某向量组的部分向量的线性组合，那么该向量也是这一向量组的线性组合. 一、线性组合 例6 判断向量?=（4,3,4,1）是否为向量组?1=(1,2,1,-1) ， ?2=(2,-1,2,3) 的线性组合？ 解 假定?是向量组?1 ， ?2的线性组合，即存在 x1,x2∈R ，使得?= x1 ?1 +x2 ?2 ，即 (4,3,4,1)= x1 (1,2,1,-1) +x2 (2,-1,2,3) 根据向量相等的定义， 可得到线性方程组 一、线性组合 为解此方程组，可对其进行同解变形，这实质上是对矩阵 作行初等变换： 从最后一个矩阵中得到方程组的解 也就是说， ?可以由?1 , ?2线性表出，并且有?=2?1+?2 一、线性组合 【注】判断一个向量? 是否为向量组A：?1，?2，…, ?m∈Rn线性组合的一般方法: （1）待定系数法： 第一步：设 第二步：比较分量得n个线性方程， 第三步：解这n个元线性方程组，如果方程组有解，则向量?是向量组A的线性组合；若方程组无解，则向量?不是向量组A的线性组合.当方程组有唯一解时，则向量?可由向量组A唯一线性表示. （2）矩阵方法： 将?1，?2，…, ?m, ? 按列排成矩阵(A,b)， (A,b)就是线性方程组 ?1x1+?2x2+…+ ?mxm =?的增广矩阵. ，就可得到结论. 一、线性组合 例7 判断向量?=(4,3,0,11)是否为向量组?1=(1,2,-1,5)，?2=(2,-1,1,1) 的线性组合？ 解 因为 从最后一个矩阵的第3行中得到了矛盾方程0=1，因此,对应的线性方程组无解， ?不能由?1 ， ?2线性表出. 二、线性相关与线性无关 1．线性相关的定义 定义2 给定向量组A: ?1 ,?2 ,…,?m ，如果存在不全为零的实数k1,k2, …,km∈R，使得k1?1 +k2?2+…+km ?m=0 成立，则称向量组A ?1 ,?2 ,…,?m线性相关；否则称向量组A线性无关. 二、线性相关与线性无关 例8 设 问： ?1 ,?2,?3线性相关吗？ 解：因为存在不全为零的数k1=2,k2=-1,k3=1 ，使得 成立，所以?1 ,?2,?3线性相关. 二、线性相关与线性无关 例9 设 问： ?1 ,?2,?3线性相关吗？ 解：若有k1,k2,k3∈R ，使k1?1 +k2?2+k3?3=0 成立.由向量相等的定义可得(k1,k2,k3)=(0,