线性代数教学课件作者张德全电子教案5-1课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §5.1 向量的内积与正交向量组 一、向量的内积、长度、夹角 二、正交化方法 三、正交矩阵与正交变换 一、向量的内积、长度、夹角 1.向量的内积 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 定义1 设两个n维向量 ， 或 ， ，规定一 个确定的实数 与之对应，记为 ，即 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 定义2 设 为n维向量，则非负实数 称为向量 的长度（或范数），记为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 定义2 设 为n维向量，则非负实数 称为向量 的长度（或范数），记为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义3 设 和 是n维空间的两个非零向量， 和 的 夹角 为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义4 设 和 是n维空间的两个向量，当 时， 称向量 与 正交，记为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 定义4 设 和 是n维空间的两个向量，当 时， 称向量 与 正交，记为 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 一、向量的内积长度夹角 1.向量的内积 2.向量的长度 3.向量的夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 定义5 两两正交的非零向量组，称为正交向量组.又若正交向量组中向量都是单位向量，则称为标准正交向量组. 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 定义5 两两正交的非零向量组，称为正交向量组.又若 正交向量组中向量都是单位向量，则称为标准正 交向量组. 向量组 是标准正交向量组的充分必要条件： 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 定理 若n维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关. 一、向量的内积长度夹角 4.正交向量组、标准正交向量组 定理 若n维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关. 证 (反证法) 设有不全为零的 ，使 用 与等式两边的向量作内积，利用 时有 可得： 因为正交组中每一个向量非零，所以 从而 所以 线性无关. 一、向量的内积长度夹角 例1 已知两个向量 正交， 试求一个非零向量 ，使得 两两正交. 一、向量的内积长度夹角 例1 已知两个向量 正交， 试求一个非零向量 ，使得 两两正交. 二、正交化方法 ★ 正交向量组中的向量一定线性相关. ★ 线性相关的向量组未必是正交向量组. 施密特(Schmidt)正交化方法： --一种把线性无关向量组正交化的方法 二、正交化方法（施密特方法） （1）正交化 二、正交化方法（施密特方法） （1）正交化 （2）单位化 二、正交化方法（施密特方法） 例2 设 验证向量组线性无关， 并试用Schmidt正交化方法把向量组正交化. 二