线性代数教学课件作者张德全电子教案5-4课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §5.4 对称阵的对角化 一、实对称阵的对角化 二、用正交变换化对角矩阵的方法 一、实对称阵的对角化 定义 所有元素都是实数的矩阵，称为实矩阵. 一、实对称阵的对角化 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 一、实对称阵的对角化 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数 为对称矩阵A的特征值，复向量 为对应的特征向量，即 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量， 表示A的共轭矩阵. 则 可知， 而 上面两式的差值为 因为 ，则 所以，只有 ，即 ，说明 是实数. 一、实对称阵的对角化 定理2 设 是实对称矩阵A的两个特征值， 是对应的特征向量，若 ，则 正交. 一、实对称阵的对角化 定理2 设 是实对称矩阵A的两个特征值， 是对应的特征向量，若 ，则 正交. 证 则 即 于是， 而 ，只有 ，即 正交. 一、实对称阵的对角化 定理3 实对称矩阵A总可以通过一个正交变换化成对角矩阵，即存在正交矩阵P，使 证（略）. 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 得A的特征值： 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 得A的特征值： 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 当 时，由 得 的基础解系为 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 当 时，由 得 的基础解系为 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 当 时，由 得 的基础解系为 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 当 时，由 得 的基础解系为： 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (正交化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 (单位化…) 令 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 得正交矩阵 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 得正交矩阵 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例1 求一个正交矩阵P，将对称矩阵 化为对角矩阵. 解 得正交矩阵 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例2 设 求 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又 得A的特征值为 二、用正交变换化对角矩阵的方法 例2 设 求 解 A是对称矩阵，故可对角化.又