线性代数教学课件作者张德全电子教案5-2课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §5.2 特征值和特征向量 一、特征值和特征向量及求法 二、特征值与特征向量的性质 一、特征值和特征向量及求法 定义 设A是n阶方阵，如果存在常数 和n维非零向量 使 成立，其中 . 那么称常数 为方阵A的特征值，称n维向量 为方阵A的对应特征值 的特征向量，或称 为方阵A的属于特征值 的特征向量. 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 【注】 （1）n阶方阵在复数范围内有n个特征值. （2）方阵A的属于特征值 的特征向量有无 穷多个; 但一个特征向量只对应一个特征值. （3）实矩阵的特征值未必是实数. 一、特征值和特征向量及求法 例1 求 的特征值和特征向量. 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 一、特征值和特征向量及求法 二、特征值特征向量的性质 性质1 设 为 的m次多项 式，记 若 是n阶方阵A的一个特征值，则 是 的特征值. 二、特征值特征向量的性质 性质1 设 为 的m次多项 式，记 若 是n阶方阵A的一个特征值，则 是 的特征值. 二、特征值特征向量的性质 性质2 设n阶方阵A的n个特征值为 ，则 （1） （2） 二、特征值特征向量的性质 性质2 设n阶方阵A的n个特征值为 ，则 （1） （2） 二、特征值特征向量的性质 性质3 设对应不同特征值的特征向量线性无关. 二、特征值特征向量的性质 性质3 设对应不同特征值的特征向量线性无关. 二、特征值特征向量的性质 性质4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值 全不为零； 并且A可逆时， 是 的特征值. 本节课后可以完成的作业 P124（习题五） 一、填空题 5，6 二、选择题 4，5，6，7 三、计算与证明题 3 * * 特征多项式和特征方程 特征多项式和特征方程 即 当 即 时，方程组有解. 特征多项式和特征方程 即 当 即 时，方程组有解. 注记 方阵A的特征多项式： 方阵A的特征方程： 特征方程在复数范围内有n个根（包括重根）. 例1 求特征值和特征向量 的特征值为 例： 例1 求解 例1 求解 例1 求 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 例1 求解 例1 求 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 A的特征方程为 所以，A的特征值为 例1 求解 例1 求 的特征值和特征向量. 解 当 时，由 A的特征方程为 所以，A的特征值为 得方程组 的基础解系为 故 为 的特征向量. 例1 求解 例1 求 的特征值和特征向量. 解 当 时，由 得方程组 的基础解系为 故 为 的特征向量. 例2 例1 求 的特征值和特征向量. 特征值： 特征向量： 对应 对应 对应 例2答案公布 例2 求 的特征值和特征向量. 练习时间... 二、特征值特征向量的性质 例2 求 的特征值和特征向量. 特征值： 特征向量： 解 证明 性质2 证 设 因为 ， 从而 所以， 是 的特征值. 性质2证明 矩阵的迹 性质3 证 比较可得. 性质3 的证明 证 设 是方阵A的m个互不相同的特征值， 依次是相应的特征向量. (数学归纳法) 当 m＝1时， ， 线性无关.所以命题成立. 假设对 m