线性代数教学课件作者张德全电子教案4-4课件.ppt

《线性代数》---高等教育出版社 §4.4 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组具有下列性质： 性质1 若?1与?2都是齐次线性方程组Ax=0的解，则?1+?2也是Ax=0的解. 证明 性质2 若?是齐次线性方程组Ax=0的解，则k?也是Ax=0的解. 证明 一、齐次线性方程组解的结构 定理 1 齐次线性方程组Ax=0，记其系数矩阵A的秩r(A)=r，则当r=n时，方程组有唯一零解；当rn时，方程组有无穷多解. 记 为齐次线性方程组解向量的集合. 若r(A)n，则J 中包含着无穷多个解.在J中若求得一个极大无关组 ，由定义知：任一x∈J ，均存在一组 ，使得 成立.因此向量组J的极大无关组可以线性表出齐次线性方程组的所有的解（也称通解） 一、齐次线性方程组解的结构 定义 1 齐次线性方程组的所有解 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系. 因此，求解齐次线性方程组的问题，就转换成为求它的基础解系的问题. 向量组中的极大无关组不是唯一的，齐次线性方程组解的基础解系也不是唯一的. 但是对于同一个齐次线性方程组，基础解系中解向量的个数是确定的. 一、齐次线性方程组解的结构 定理 2 设n元齐次线性方程组Ax=0的全体解向量构成的集合为J ，则{r(J)=n-r(A)}. 一、齐次线性方程组解的结构 例 1 求解齐次线性方程组 的基础解系和通解. 一、齐次线性方程组解的结构 因为r(A) =2, 于是有r(J)=n-r(A)＝4-2=2. 根据系数矩阵行变换最后的形式，可以把原方程组写成一般解形式： 一、齐次线性方程组解的结构 方程组的基础解系为 : 二、非齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组Ax=b的解，与它的导出组Ax=0的解之间具有如下关系: 性质1 设η1,η2是非齐次线性方程组Ax=b的任意两个解，则η1-η2是对应齐次线性方程组Ax=0的解. 证明 :A(η1-η2)= Aη1- Aη2=b-b=0 二、非齐次线性方程组解的结构 定理 3 设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ζ是对应齐次线性方程组Ax=0的任意一解，则η+ζ是非齐次线性方程组Ax=b的解. 证明 A（η+ζ）＝ Aη+Aζ ＝b+0＝b 二、非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组Ax=b的任意一解都可以用它的某个解η（称为特解）与导出组的某个解ζ的和来表示. 当ζ取遍Ax=0的全部解时， η+ζ就是Ax=b的所有解. 二、非齐次线性方程组解的结构 如果设 ,t=n-r(A) 是Ax=0的一个基础解系，k1,k2, …,kt为一组任意常数，则非齐次线性方程组Ax=b的全部解可以表示为 二、非齐次线性方程组解的结构 例 2 求解非齐次线性方程组 二、非齐次线性方程组解的结构 方程组有无穷多解.最后一个矩阵可以写成方程组的形式为 二、非齐次线性方程组解的结构 ζ1ζ2是导出组的一个基础解系 二、非齐次线性方程组解的结构 例 3 求解线性方程组 解： 二、非齐次线性方程组解的结构 从最后一个矩阵可以看出，r(A,b)=r(A)=3，矩阵的秩与未知数的个数相等，故有唯一解，且解为 作业 习题四 P92:一、9,10,11,12 二、6,7,8,9,10 三、8,9,10 * * （I）导出的齐次线性方程组(II) 导出组 性质 通解 通解 通解 解 写出系数矩阵，并对系数矩阵做行初等变换，化为行最简形， 通解 例 1 方程组的解还可以写为 : 通解 通解 通解 通解 通解 通解 解 用系数增广矩阵做行初等变换 行初等变换 例 2 例 2 行初等变换 例 3 先复习再写作业 *