工程力学简明教程 教学课件 作者 苏德胜 韩淑洁第十五章 应力状态分析及强度理论 第十五章 应力状态分析及强度理论.ppt

第十五章 应力状态分析及强度理论 §15－1 应力状态的概念 一点的应力状态 §15－1 应力状态的概念 主平面和主应力 §15－2 二向应力状态分析 任意斜截面上的应力 §15－2 二向应力状态分析 §15－2 二向应力状态分析 例15-l 已知构件内一点的应力状态如图所示，求图示斜截面上的正应力和切应力。 §15－2 二向应力状态分析 极值正应力、主平面和主应力 §15－2 二向应力状态分析 极值切应力 §15－2 二向应力状态分析 例15-2 试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。 §15－3 三向应力状态简介及广义胡克定律 三向应力状态的最大应力 §15－3 三向应力状态简介及广义胡克定律 广义胡克定律 §15－3 三向应力状态简介及广义胡克定律 §15－4 强度理论简介 强度理论的概念 §15－4 强度理论简介 常用的四种强度理论 §15－4 强度理论简介 最大伸长线应变理论(第二强度理论) §15－4 强度理论简介 最大切应力理论(第三强度理论) 第十五章 应力状态分析及强度理论 主要内容： 应力状态的概念 二向应力状态分析 三向应力状态简介及广义胡克定律 强度理论简介 通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合,称为该点的应力状态。 危险点的应力状态 危险点处于纯剪切应力状态 单元体上切应力为零的平面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 由主平面组成的单元体称为主应力单元体。 一点的应力状态常用主应力单元体表示 单向应力状态 二向应力状态 三向应力状态 单向应力状态和二向应力状态统称为平面应力状态。二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。 σ1≥σ2≥σ3 在图a)所示单元体上取任意斜截面a,其外法线n与x轴正向的夹角为α 。规定： α角自x轴正向逆时针转到n为正。设σx≥σy。截面ef把单元体分成两部分,现研究aef部分的平衡(图b))。斜截面ef上的应力以正应力σα和切应力τα表示。若ef的面积为dA，则 af面和ae面的面积分别是dAsin α和dAcos α 。 由静力平衡方程 式中τxy=τyx，代入上式，化简后得 平面应力状态任意斜截面上的应力计算公式 解 令σx=40MPa、σy=－20MPa、τxy=－10MPa，α=－60o。 得 将式 对α求导数，并令dσ/dα=0，得 设该主平面的外法线n与x轴正向的夹角为α0，可得 最大正应力 在上面各式中假定了σx≥σy,在此假定下, 确定的两个角度α0中,绝对值最小的一个确定σmax所在的平面。 令dτx/dα=0，由式 这说明极值切应力所在平面与主平面成45o角。此处所指的极值切应力是指平面应力状态下与零应力面垂直的各斜截面中的切应力的极值,并不是指三向应力状态下单元体的最大切应力。 得 解 由受扭圆轴表面任一点A处（图a)）取单元体如图b)所示 切应力为τ=T/WP，因此有σx=0、σy=0和τxy=τ。得 求得σ1、σ3作用面的方位为α0=±45o，画出A点的主应力单元体如图c)所示。 圆轴扭转时最大正应力发生在与轴线成45o角的斜截面上，为拉应力。铸铁受扭时将沿与轴线成45。角的螺旋面被拉断(图d))。 若过一点单元体上三个主应力均不为零，称该单元体处于三向应力状态。设三向应力状态的三个主应力为σ1、σ2和σ3。可以证明，过该点所有截面上的最大正应力为σ1，最小正应力为σ3，即 σmax=σ1 σmin=σ3 而最大切应力为 τmax的作用面与σ2平行，与σ1、σ3作用面夹角为45o。 F 对应于主应力σ1、σ2、σ3方向的线应变分别为ε1、ε2、ε3，称为主应变。在σ1的单独作用下，沿σ1方向的主应变为 在σ2和σ3的单独作用下，在σ1方向引起的主应变分别为 根据叠加原理，在σ1、σ2、σ3三个主应力的共同作用下，沿σ1、σ2、σ3方向的主应变为 同理，可求出沿σ2和σ3方向的主应变ε2和ε3，结果有 广义胡克定律 由于材料破坏主要有两种形式,相应地存在两类强度理论。 一类是断裂破坏理论,主要有最大拉应力理论和最大拉应变理论等； 另一类是屈服破