10.6_高斯公式__通量与散度汇总.ppt

* 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理10.10 设G是空间二维单连通域， 则曲 P x, y, z , Q x, y, z , R x, y, z 在G内具有一阶连续偏导数, 面积分 在G内与所取曲面? 无关而只取决于? 的边界曲线 或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零 的充要条件是 * 1. 通量 为向量场 设有一向量场 其中函数P, Q, R具有一阶连续偏导数, 通量. flux divergence 穿过曲面Σ这一侧的 三、物理意义 通量与散度 有向曲面Σ某一侧的曲面积分: 则称沿场中 有向曲面Σ在点 x, y, z 处的单位法向量 * 通量的计算公式 两类曲面积分之间的关系 * 例 的通量, 解 为了求曲面Σ上侧的单位法向量, 法向量: 单位法向量: * 例 的通量, 设在闭区域?上有稳定流动的不可压缩流体的 速度场为 ? 是闭区域?的 时间内流体经过曲面? 流向指定侧的流体总质量为 则由对坐标的曲面积分的物理意义可知, 2.散度 * 其中P, Q, R均具有连续一阶偏导数, 是曲面?在点 x, y, z 处的单位法 密度为1, 边界曲面的外侧, 向量, 单位 由两类曲面积分的关系 * 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0时, 说明流入? 的流体质量少于流出的, 当? 0时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 当? 0时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 表明? 内有泉; 表明? 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 的流量为 * 且方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为? , 设? 是包含点 M 要揭示场内任意点M 处的特性, 两边同除以? 的体积 V, 并令? 以任意方式缩小至点M 则有 根据高斯公式, 流量也可表为 在上式 记作? →M , 三重积分中值定理 表示? 内的源头在单位体积内所产生的流体质量的平均值 * 称为速度场v在点M的通量密度或散度, 记为 即 表明流体在该点处有正源; 表明流体在该点处有负源; 表明流体在该点处无源. 散度绝对值的大小反映了源的强度. 其中 * 可看作稳定流动的不可压缩流体在点 M的源头强度 在单位时间单位体积内所产生的 流体质量. 对于一般的向量场 在场中点M x, y, z 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 利用向量微分算子 若向量场 A 处处有 则称向量场 A 为无源场. 如, 匀速场 故它是无源场. * * 利用向量场的通量和散度, 高斯公式: 可写成 或 其中Σ+是空间闭区域? 的外侧边界曲面. 高斯公式的物理意义 向量场 A 通过闭曲面Σ流向外侧的通量等于 向量场 A 的散度在闭曲面Σ所围闭区域?上的积分. An是向量 A 在曲面Σ的外侧法向量上的投影. * 例 向量场 研究生考题,填空 3分 解 * 设数量场 解 先求梯度 * 再求grad u的散度 设数量场 * 高斯Gauss公式 物理意义--通量与散度 四、小结 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. 高斯Gauss公式的实质 注意使用的条件 推出闭曲面积分为零的充要条件: * 思考题 曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？ 解答 曲面应是分片光滑的闭曲面. * 作 业 习题10.6 461页 * 10.6 高斯公式 通量与散度 10.6 高斯公式 通量与散度 * 高斯公式 物理意义---通量与散度 小结 思考题 作业 flux divergence 10.6 高斯 Gauss 公式 通量与散度 高斯 Gauss,K.F. 1777–1855 德国数学家、物理学家、天文学家 第10章 曲线积分与曲面积分 沿任意闭曲面的曲面积分 为零的条件 * 格林公式把平面上的闭曲线积分与 本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 它有明确的物理背景— 三重积分的关系. 所围区域的二重积分联系起来. 通量与散度. * 分量在Ω及Σ上具有 则有高斯公式 一阶连续偏导数, 或写成 一、高斯公式 定理10.9 设Ω为空间有界闭区域, 其边界面Σ 是分片光滑曲面, 曲面的正侧记作Σ+, 向量函数 的各 高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式. 俄 1801 –1861 * 证明思路 分别证明以下三式, 从而完成定理证明. 只证其中第三式, 其他两式可完全类似地证明. * 证 设空间区域Ω 母线平行于z轴的柱面. 即边界面Σ由Σ1 , Σ2 , Σ3 三部分组成: 取下侧 取上侧 取外侧 在xOy面上的投影域为Dxy 假设域Ω的边界曲面与任一平行坐标轴 的直线