高等数学教程 下册（第4版）课件：高斯公式 通量与散度.pptx
一阶连续偏导数,
则有
的整个边界曲面的外侧.
高斯公式通量与散度
定理12.5高斯(Gauss)公式
12.6.1高斯(Gauss)公式
只需分别证明以下三式,即可完成定理证明.
现只证第三式,其它两式可完全类似地证明.
证
母线平行于z轴的柱面.
(取下侧)
(取上侧)
(取外侧)
由三重积分的计算,有
再由曲面积分的计算法
取下侧,
取上侧,
取外侧
于是
故
同理可证
合并以上三式,即得高斯公式.
说明:若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴
的直线的交点多于两点时,
可以引进几张辅助的
曲面把Ω分为有限个闭区域,
使得每个闭区域满
足假设条件,
并注意到沿辅助曲面相反两侧的两
个曲面积分的绝对值相等而符号相反,
相加时正
好抵消.
因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正
确的.
高斯公式常用形式
其中
向量的方向余弦.
处的外法
解
例1计算其中Σ为
三个坐标面与平面围成的四面体的
外表面侧.
例2计算其中Σ为
解
的外侧.
不能直接用高斯公式.
点(x,y,z)在曲面上,
然后再用高斯公式.
可先用曲面方程将被积
因被积函数中的
函数化简,
例3计算曲面积分
其中Σ为锥面介于平面及
之间的部分的下侧.
解
曲面不是封闭曲面,
为利用高斯公式,
取上侧,
因
故
故
又
Σ是锥面和球面及
练习设f(u)是有连续的导数,计算
所围立体的表面外侧.
解
设
由高斯公式
12.6.2通量与散度
现进一步解释高斯公式的物理意义
可以理解为稳恒流动的不可压缩流体(假定
密度为1)的速度场.
设
是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量,指向Σ的外侧.
则
可以理解为单位时间内穿过Σ流向指定侧的流量,
记为Ф.
说明流出Σ的流体的质量多于流入的,
表明Σ内有“源”;
说明流出Σ的流体的质量少于流入的,
表明Σ内有“漏”;
说明流出与流入的流体的质量相等.
用Ω的体积V去除上式两端,得
此式表示单位时间内,单位体积所流出的流体
由积分中值定理,
当Ω向内不断收缩逐渐成一点M时,取极限得
质量的积分平均值.
即点M的源头强度.
体积的变化率,
定义12.6
为向量场,
其中P、Q、R具有一阶连续的偏导数,
其指向外侧的单位
Σ是场内的一有向封闭曲面,
即
向曲面Σ的通量.
在点M的散度,
散度是通量对体积的变化率,体现了流速场
在点向外散发流体的能力.
表明点M有正源,即流体的确是离开点M
表明点M有负源,即流体是由点M周围
向周围扩散;
表明点M无源.
向点M汇集;
高斯公式可写成
下面由散度的表达式引进一个记号
例4求向量场
解设
在点