第六节高斯公式通量与散度.ppt

第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 思考: 计算曲面积分 例3. 例4. 设函数 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 2. 闭曲面积分为零的充要条件 *三、通量与散度 定义: 例5.求向量场 例6. 内容小结 思考与练习 作业 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 高斯(1777 – 1855) * 目录 上页 下页 返回 结束 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十一章 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, 则有 (Gauss 公式) 高斯 ? 的方向取外侧, 称为XY -型区域 , 则 定理1 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意 其中? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, ?, ?, ? 为法向量的方向角. 所围区域为? , 则 利用质心公式, 注意 提示: 作取上侧的辅助面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 先二后一 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 在闭区域? 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 其中? 是整个? 边界面的外侧. 注意: 高斯公式 注意: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ? 为G内任一闭曲面, 则 ① 证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ② “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧, 高斯公式 得 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有泉; 表明 ? 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 ? ? 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为? , 设? 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点M 处的特性, 在?式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过 有向曲面 ? 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 显然 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场. 说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 散度意义