10-6高斯公式、通量与散度汇总.ppt
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10.6_高斯公式__通量与散度汇总.ppt
* 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理10.10 设G是空间二维单连通域， 则曲 P x, y, z , Q x, y, z , R x, y, z 在G内具有一阶连续偏导数, 面积分 在G内与所取曲面? 无关而只取决于? 的边界曲线 或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零 的充要条件是 * 1. 通量 为向量场 设有一向量场 其中函数P, Q, R具有一阶连续偏导数, 通量. flux divergence 穿过曲面Σ这一侧的 三、物理意义 通量与散度 有向曲面Σ某一侧的曲面积分: 则称沿场中 有向曲面Σ在点 x, y, z 处的单位法向量 * 通量的计算公式 两
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10-6 高斯公式、通量与散度培训讲解.ppt
第六节 高斯公式、通量与散度
一、高 斯 公 式
二、简单的应用
三、物理意义----通量与散度
一、高 斯 公 式
证明
根据三重积分的计算法
根据曲面积分的计算法
同理
------------------高斯公式
和并以上三式得：
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
由两类曲面积分之间的关系知
解
二、简单的应用
使用Guass公式时应注意:
解
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
故所求积分为
1. 通量的定义:
三、物理意义----通量与散度
2. 散度的定义:
散度在直角坐标系下的形式
积分中值定理,
两边取极
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高斯公式通量与散度.ppt
设与n同向的单位向量为(cos??cos??cos?)?则证将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数??是?的整个边界曲面?n是?的外法线方向?证明二、通量与散度高斯公式的物理意义高斯公式其中vn?v?n?Pcos??Qcos??Rcos??可以简写成公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量?左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量?提示:其左端表示?内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值.提示:其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体
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5-6高斯公式 通量与散度培训讲解.ppt
第六节 高斯公式 通量与散度;一、高 斯 公 式;证明;根据三重积分的计算法;同理;Gauss公式的实质;二、简单的应用;例2 计算;使用Guass公式时应注意:;例3 计算;而;练习(040108);解:;而;解;根据对称性可知;故所求积分为;例 5 计算;则;而;三、物理意义--通量与散度;2. 散度的定义:;散度在直角坐标系下的形式;高斯公式可写成;例 设;四、小结;思考题;思考题解答;例3 计算;故有;练 习 题;练习题答案
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第六节高斯公式通量与散度.ppt
第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 思考: 计算曲面积分 例3. 例4. 设函数 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 2. 闭曲面积分为零的充要条件 *三、通量与散度 定义: 例5.求向量场 例6. 内容小结 思考与练习 作业 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 高斯(1777 – 1855) * 目录 上页 下页 返回 结束 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度
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一、高斯公式二、简单应用三、物理意义—通量与散度四、小结课件.ppt
二、简单的应用 三、物理意义----通量与散度 四、小结 一、高斯公式 二、简单应用 三、物理意义—通量与散度 四、小结 一、高斯公式 或 高斯公式 Gauss 公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系. 解 (利用柱面坐标得) 解 使用Guass公式时应注意: 解 曲面 ? 不是封闭曲面， 不能直接用高斯公式。 补充 解 曲面 ? 不是封闭曲面， 不能直接用高斯公式。 补充 故所求积分为 1. 通量的定义: 2. 散度的定义: 散度在直角坐标系下的形式 积分中值定理, 两边取极限, 高斯公式可写成
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一阶连续偏导数,
则有
的整个边界曲面的外侧.
高斯公式通量与散度
定理12.5高斯(Gauss)公式
12.6.1高斯(Gauss)公式
只需分别证明以下三式,即可完成定理证明.
现只证第三式,其它两式可完全类似地证明.
证
母线平行于z轴的柱面.
(取下侧)
(取上侧)
(取外侧)
由三重积分的计算,有
再由曲面积分的计算法
取下侧,
取上侧,
取外侧
于是
故
同理可证
合并以上三式,即得高斯公式.
说明:若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴
的直线的交点多于两点时,
可以引进几张辅助的
曲面把Ω分为有限个闭区域,
使得每个闭区域满
足假设条件,
并注意到沿辅助曲面相反两侧的两
个曲面积
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人大微积分课件-高斯公式通量与散度.ppt
曲线积分与曲面积分 二、简单的应用 第六节 高斯公式、通量与散度 一、高 斯 公 式 三、物理意义----通量与散度 一、高 斯 公 式 证明 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理 ------------------高斯公式 和并以上三式得： Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系知 解 二、简单的应用 (利用柱面坐标得) 使用Guass公式时应注意: 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 故所求积分为 1. 通量的定义: 三、物理意义----
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* 高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 第六节 高斯(Gauss)公式 、通量、散度 一、高 斯 公 式 二、简单的应用 三、物理意义----通量与散度 Green
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1 若曲面方程：;两类曲面积分之间的联系;若曲面方程：;§6 Gauss公式与散度;高斯(1777 – 1855);一 高 斯(Gauss) 公 式;证明;根据三重积分的计算法;同理;Gauss公式的实质;使用Guass公式时应注意:;解;解;根据对称性可知;故所求积分为;解;解;加补一个曲面，使之合成一个封闭曲面，再利用Gauss公式。将复杂问题化为简单问题。;证;沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件;*二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件;2. 闭曲面积分为零的充要条件;因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 ,;三 通量与散度;若? 为方向向外的闭曲面, ;方向向外的任一闭
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微积分高斯公式和散度.ppt
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，;高斯公式： ;（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分
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习题8-6：1（3）（4）（5）、3
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南京邮电大学 高数 9.4 高斯公式 通量与散度.ppt
例1 用Gauss公式计算 例2 利用Gauss 公式计算积分 例2 利用Gauss 公式计算积分 例3 例4. 计算曲面积分 例5. 计算曲面积分 二、通量与散度 定义 定义 思考与练习 内容小结 练习: * 9.4 平面闭区域上 的二重积分 Green 公式 Gauss 公式 高斯公式 通量与散度 边界曲线上的曲线积分 空间闭区域上 的三重积分 边界曲面上的曲面积分 一、高斯公式 定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或 （1′） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，
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*运行时,点击按钮“定理1”,可看定理1内容.*运行时,点击按钮“定理1”,可看定理1内容.**运行时,点击按钮“P16”,可显示三度的含义.*例16(L.P339例4)*9.42.通量与散度1.高斯公式Green公式推广Gauss公式高斯公式通量与散度高斯公式或这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有（1′）12345证明:设*则为XY型区域,所以*若?不是XY
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高斯公式与散度工科数学分析
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(Gauss-Ostrogradsky)（散度定理）简单的应用物理意义–通量（flux）与散度小结
一、高斯公式定理1类似于平面区域，我们可以定义空间中的单连通、复连通区域。
复连通域上的高斯公式
证明
根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法
同理合并以上三式得：当积分区域不是上述情形时，可类似证明。高斯公式
Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
二、简单的应用解13
13
使用Guass公式时应注意:
解曲面?不是封闭曲面,为利用高斯公式空间曲面在