南京邮电大学 高数 9.4 高斯公式 通量与散度.ppt

例1 用Gauss公式计算 例2 利用Gauss 公式计算积分 例2 利用Gauss 公式计算积分 例3 例4. 计算曲面积分 例5. 计算曲面积分 二、通量与散度 定义 定义 思考与练习 内容小结 练习: * 9.4 平面闭区域上 的二重积分 Green 公式 Gauss 公式 高斯公式 通量与散度 边界曲线上的曲线积分 空间闭区域上 的三重积分 边界曲面上的曲面积分 一、高斯公式 定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或 （1′） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。 关于Ω的边界曲面的外侧： 如：Ω是单连通区域时取外侧； Ω是两个同心球面之间的区域（一维单连通区域）时外层取外侧，内层取内侧。 高斯公式的说明 : （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封闭，所围区域Ω。 前提：易于计算 （4） P、Q、R在Ω内的某个点不是一阶偏导连续，则采取“挖洞”的方法 其中?为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解 这里 利用Gauss公式, 得 原式 = 对称性 及平面z = 0,z = 3所围空间 思考 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 用柱坐标 其中?为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 z = h 之间部分的下侧. 其中?为锥面 介于z = 0及 设?为曲面 取上侧, 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 其中, 解: 思考: 本题?改为椭球面 时,应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 其中, 解: 所以除原点外处处有 在椭球面内作辅助小球面 取外侧。 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设?为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 设向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ?是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场　通过 有向曲面 ? 的通量(流量)。 若?为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过?的流量为 也称为单位时间里从?所围区域流出或者散发出的量。 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, M(x, y, z)是场中任意一 点，?是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 的体积为V。如果当 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 记作 例7 已知向量　　　　　　　　　，Σ为 圆柱　　　　　 的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量 解： 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) (2) ?为? 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续偏导数, 则 向量场通过有向曲面 ? 的通量为 G 内任意点处的散度为