高等数学教程 下册（第4版）课件：格林公式及其应用.pptx

设D为连通的平面区域,复连通区域单连通区域否则,称为复连通区域.则称D为平面单连通区域,所围成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线格林公式及其应用12.3.1格林(Green)公式

例如,是单连通区域，当观察者沿边界前进时,规定:边界曲线L的正向区域D总在他的左边.是复连通区域.L+l称为复合闭曲线

设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成,在D上有一阶连续偏导数,则其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重定理1格林(Green)公式函数积分之间的联系.

为便于记忆,格林公式可记做对复连通区域D,D的全部边界的曲线积分,D来说都是正向.格林公式右端应包括沿区域且边界的方向对区域

由格林公式,得设闭区域D的面积为S,L是D的正向边界曲线.

解由格林公式其中L为圆周方向为逆时针方向.例1计算其中

解L的方向为逆时针方向.例2计算其中不能直接用格林公式.因被积函数中的点(x,y)在曲线上,再用格林公式.可先用曲线方程将被积函数化简,

则解令由格林公式例3计算其中D是由直线

?分析:但由可知非常简单.其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒不是闭曲线!例4计算

为应用格林公式需补上一段曲线,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.因而这里补直线段的直线段.通常补与坐标轴平行解由格林公式的方程为故所以,??

解的正向边界.令有例5计算其中L为椭圆形区域不能直接用格林公式!作辅助圆取顺时针方向,由L和l所围成的复连通区域不包含原点.

在上应用格林公式,得其中l的方向取顺时针方向

BAL1L2定义1否则,称曲线积分与路径有关.恒成立，则称曲线积分在G内与路径无关,12.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件G内具有一阶连续的偏导数.设G一个开区域,P(x,y)和Q(x,y)在区域给定两个点A、B,如果对于G内任意以及从点A到点B的任何两条曲线L1，L2,等式

定理2设G是平面上的单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,(2)对G内任一闭曲线C,则下列四个命题等价:(3)在G内,曲线积分与路径无关;在G内恒成立;

解原式=所以,曲线积分与路径无关.例6计算其中L为令由点

解令有例7计算其中L为故该曲线积分在任意不含原点的单连通区域的一段弧.中与路径无关.

其参数方程为A点对应B点对应于是选择新的路径

其中C为任意常数.12.3.3全微分方程则称微分方程设P(x,y)和Q(x,y)一阶偏导数在平面区域D内连续,且存在某个二元函数使为全微分方程,或恰当方程.方程的通解为

此时,曲线积分与路径无关,或的求法:则取

解1所以,是全微分方程.原方程的通解为例8求方程的通解.(x,y)

解2因所以,是全微分方程.通解为例8求方程的通解.

解设积分与路径无关其中具有连续的导数,且计算练习设曲线积分与路径无关,即

(1,0)由再由故