高等数学教程(第4版)课件:定积分及其应用.pptx
定积分及其应用;所围成的平面图形.;;(3)求和;设某物体作变速直线运动,;(3)求和;设函数f(x)在[a,b]上有界,;;说明:;定理6.1(定积分的存在定理);例6.1利用定义计算定积分;解;例6.3设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且取正值.;6.1.2定积分的几何意义;取负号.;物理意义;由定积分的几何意义立即得到下面的几个结论:;例6.4计算;例6.6计算;在下面的性质中,所涉及的函数都是可积的.;例如,若;解因;推论6.2;性质6.4(定积分的估值定理);解设;证由定积分的估值定理,有;在区间[a,b]上至少存在一点;例6.9计算;设某物体作变速直线运动,;定积分;证;有;解;练习;解;解;证;定理6.3(微积分第二基本定理,牛顿—莱布尼茨公式);令;解;解;解;例6.17计算;解因定积分是数值,;练习计算;练习计算;练习设连续,求;而;练习设,求;练习已知两曲线;定理6.4(定积分的换元公式);解;;例6.21计算;做了一个翻转,即镜面反射.;证做反射变换;证(1)由反射变换;(2)由(1)的结论;例6.24设为连续函数,;定理6.5;例6.25计算;练习计算;解;例6.26计算;例6.27计算;积分关于下标的递推公式;于是;为正偶数;例6.28设;练习计算;设函数在区间连续,;称;设函数在区间连续,;设是的一个原函数,则;例6.29计算;例6.29计算;解;解;故;6.4.2无界函数的广义积分(瑕积分);称;称;类似地,设是的一个原函数,则;解;例6.33计算广义积分;例6.34计算广义积分;练习计算广义积分;定积分有着广泛的用途,;(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;;微元法的一般步骤:;;求由曲线;解;解;面积元素;解;;设曲线弧L的参数方程为;设曲线弧的极坐标方程为;弧长为;解;1.已知平行截面面积的立体的体积;解;;;;解;如果旋转体是由连续曲线;;6.6定积分在物理中的应用;例1已知距离为r的两个电荷间的作用力的大小为;解;6.6.2液体的静压力;;解;小矩形一侧所受压力的元素为;相距为r的;解建立坐标系如图;小段与质点的距离为;例1求;例2求;例3求;解因;例5设;解;例7计算定积分;例8证明;例9设;例10设;例11设;例12求;;解得;例15计算;例16计算;例17计算;例18设;练习计算;例1过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与;;;2013年研究生考题,数三,10分;解;平面图形的面积.;解建立坐标系,;依题意知,每次锤击所作的功相等.;;线密度的大小等于该点到原点距离的立方,在点O处;故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力为