大一上想挂都难高数不有啊高阶导数.pdf

第三节高阶导数

、高阶导数的定义

f(x)f(x)x

定义如果函数的导数在点处可导，即

f(x+x)−f(x)

(f(x))lim

xx→00x

存在，则称(f(x))f(x)

为函数在点x处的二阶导数.

22

记作f(x),y,dydf(x)

dx2或dx2.

3

dy

二阶导数的导数称为三阶导数,f(x),y,3.

dx

4

三阶导数的导数称为四阶导数,f(4)(x),y(4),dy.

dx4

一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数

f(x)的n阶导数，记作

nn

(n)(n)dydf(x)

f(x),y,或.

dxndxn

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

f(x)f(x)

相应地，称为零阶导数；称为一阶导数.

、高阶导数求法举例

例1yax+b,求y.

例2yarctanx,求f(0),f(0).

x

例3求指数函数ye的n阶导数.

x(n)x

(e)e

例4求幂函数的n阶导数.

(x)(n)(−1)(−2)((−nn+1)x−n

若n,则有(xn)(n)n(n−1)(n−2)332211nn!!

(xn)(n+1)0

例5求对数函数yln(1+x)的n阶导数.

(n)n−1(n−1)!