高数辅导之专题十：高阶导数.doc

PAGE PAGE 6 专题十 基础知识 关于高阶导数，有： （1）几个常见的高阶导数公式 ， ， ， （2）分段函数在分段点处的二阶导数 （3）莱布尼兹公式：设函数，皆阶可导，则 （实际上就是二项式定理） （4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及） 例题 1. 设，求。 解： 故 于是 2. 已知，求。 解：由知 3. 已知，求。 解： 由公式知 故 4. 已知，则当时求。 解：令，，则，由莱布尼兹公式，有 故 5. 设，其中，为正整数，求。 解：由知 其中，。由莱布尼兹公式知 而，，，，故 6. 设，求。 解： 令，，则，由莱布尼兹公式，有 而，，，，故 注：例题4、5、6有共通之处，要求，首先将因式分解为两项和相乘，应用莱布尼兹公式，且其中一项必须为关于的多项式（为了使的零阶直至阶导数只有少数几项在处的值不为零）。 7. 设，求。 解： 故 继续求导一次得 亦即 继续求导一次得 亦即 归纳知 将带入上式，有 由，，知 附专题八习题6的解答 6. 证明：方程恰有三个实根。 解：令，，，。的两个确定的根为，，对函数在闭区间上应用零点定理知至少存在一个，使得。故亦即方程至少有三个实根，下面说明方程恰有三个实根。倘若不然，存在四个或者四个以上的实根，取其中的四个根，，，，且不妨设。的一阶、二阶、三阶导数分别为 由罗尔定理知存在，，，使得 继续应用罗尔定理，存在，，使得 存在，使得 而，，矛盾。故假设不成立，亦即方程恰有三个实根。（附与的图像） （罗尔定理）如果函数满足： 在闭区间上连续 在开区间内可导 在区间的端点处函数值相等，及 则在内至少存在一点，使得。