高数(上)第二章第三节高阶导数精要.ppt

第三节 高阶导数 高阶导数的概念 高阶导数的求法举例 同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为 函数 y =?(x) 的导数 仍 x 是的函数. 若 在点 x 处仍可导, 则称 在 x 处的导数为函数 y =?(x) 在 x 处的二阶导数 . 记为 一、高阶导数的概念 三阶导数的导数称为四阶导数.记为 定义1 一般地,如果函数 y =?(x)的n-1 阶导数仍可导时, 则函数 y =?(x)的 n –1阶导数的导数称为函数 y =?(x)的n 阶导数, 即 并记为 注1 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便, 记 注2 求高阶导数就是逐阶求导数, 一般可通过从低阶导数找规律, 得到函数的n 阶导数. 二、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 求函数 的各阶导数： 例2 求函数 的二阶导数： 例3 求下列函数的 n 阶导数： 特别地 特别地 特别地 同理可得 【分析】注意对于抽象函数求高阶导数, 往采用递推法. 例5 ?(x)具有任意阶导数, 且 , 则当n 是 大于2的正整数时, 求?(x)的n 阶导数 抽象函数求高阶导数 已知 设?(x)具有任意阶导数, 且 , 则求 所以 2. 高阶导数的运算法则 设 u = u(x), v = v(x)都 n 阶可导, 则 (1) (2) 为常数 ) (3) 其中 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式. 例6 设 , 求 . 解 令 , 则 由莱布尼兹公式 * *