《高数教学课件》第三节高阶导数.pptx

二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章

一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束

定义1若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束

存在,则称这个极限值为函数y=f(x)在点x处的二阶精确定义:机动目录上页下页返回结束01导数.02设函数y=f(x)在点x的某个邻域内可导,如果极限

例45.机动目录上页下页返回结束设1解:2

例46.机动目录上页下页返回结束解:02设01

例47.机动目录上页下页返回结束设01解:02

设求解:依次类推,例48.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束

例49.设求解:特别有:解:思考:例50.设求机动目录上页下页返回结束

例51.设机动目录上页下页返回结束解:1规定0!=12思考:3求4

例52设机动目录上页下页返回结束求解:类似可证:一般地,注意：例48、49、50、51、52可以当做结论使用.

例53设机动目录上页下页返回结束解:

练习.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束

二、高阶导数的运算法则推导目录上页下页返回结束都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数

用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束

例54.01.解:01.解:01.

01例55.02解:由例50及n阶导数的运算法则，可得

例56.机动目录上页下页返回结束解:因为故

例57设机动目录上页下页返回结束STEP4STEP3STEP2STEP1求解:设则代入莱布尼兹公式,得

解:机动目录上页下页返回结束

练习设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束

内容小结机动目录上页下页返回结束如,01——利用已知的高阶导数公式间接法利用莱布尼兹公式01高阶导数的求法逐阶求导法利用归纳法01

提示:机动目录上页下页返回结束(填空题)(1)设01则02各项均含因子(x–2)03已知04任意阶可导,且05时06提示:07则当08

3.试从第四节目录上页下页返回结束导出解：同样可求030102

备用题机动目录上页下页返回结束1设2求3解:其中f二阶可导.