高数教学课件7高阶导数.ppt
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高阶导数;记作;二、 高阶导数求法举例;例2;例3;注意:;例5;例6;2. 高阶导数的运算法则:;例7;例8;注意到;3.间接法:;例9;例10;例11;②;注;三、小结;思考题;思考题解答
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定义1若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束
存在,则称这个极限值为函数y=f(x)在点x处的二阶精确定义:机动目录上页下页返回结束01导数.02设函数y=f(x)在点x的某个邻域内可导,如果极限
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例46.机动目录上页下页返回结束解:02设01
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高等数学 第三节 一、高阶导数的概念 定义. 例2. 例3. 设 例4. 设 例5. 设 二、高阶导数的运算法则 例7 例8 设 例9 内容小结 2. 试从 作业 4（5） 设 * 主讲教师: 王升瑞 第十二讲 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 高阶导数 第二章 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 解 例1 设 求 解: 依次类推 , 可得 问题
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* 蒙特利尔精神病学院的怀特·佩菲尔德博士用弱电流刺激法证实：我们曾经认知的事物，始终都存在于我们的大脑之中，只是当我们需要时，往往不能有效地把它提取出来。即所谓“垃圾箱理论”。 故，记忆的关键在“忆”不在“记”。为了提高“忆”的效率，应该在“记”的时候尽量多地做好“标记”。 1、概念 函数 y = f ( x ) 导（函）数 y’ 的导（函）数( y’ )’ , 称为 y = f ( x ) 的二阶导数。 一般的，函数 y 的( n –1 ) 阶导（函）数的导（函）数， 称为函数 y 的 n 阶导
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湘潭大学数学与计算科学学院 1.3 高阶导数与高阶偏导数 一、高阶偏导数的定义 二、求高阶导数 三、高阶微分 四、小结 作业 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 返回首页 一、高阶偏导数的定义 二、求高阶导数与高阶偏导数 三、高阶微分 四、小结 回顾：高阶导数的定义 定义 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 由于函数 展开后的最高次幂项为 所以 例1 已知函数 解 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 问题： 混合偏导数都相等吗？ 解 例4 数 在点 处的二阶混合偏
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高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念
多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
二、典型例题例1解
例2解
例3解
于是可得,例4解
解例5
例6解分析:
得
有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:(2001考研）3.设
上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：1.在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上
例1.已知求出的表达式.解法1令即则且
例2.设其中f与F分别具解方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)
求函
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高数辅导之专题十：高阶导数.doc
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专题十
基础知识
关于高阶导数，有：
（1）几个常见的高阶导数公式
，
，
，
（2）分段函数在分段点处的二阶导数
（3）莱布尼兹公式：设函数，皆阶可导，则
（实际上就是二项式定理）
（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）
例题
1. 设，求。
解：
故
于是
2. 已知，求。
解：由知
3. 已知，
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第三节高阶导数
、高阶导数的定义
f(x)f(x)x
定义如果函数的导数在点处可导，即
f(x+x)−f(x)
(f(x))lim
xx→00x
存在，则称(f(x))f(x)
为函数在点x处的二阶导数.
22
记作f(x),y,dydf(x)
dx2或dx2.
3
dy
二阶导数的导数称为三阶导数,f(x),y,3.
dx
4
三阶导数的导数称为四阶导数,f(4)(x),y(4),dy.
dx4
一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数
f(x)的n阶导数，记作
nn
(n)(n)dydf(x)
f(x),y,或.
dxndxn
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
f(x)f(
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第三节高阶导数一、高阶导数的定义定义如果函数的导数在点处可导，即存在，则称为函数在点处的二阶导数.记作或二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.一般地，函数的n-1阶导数的导数称为函数的n阶导数，记作或相应地，称为零阶导数；称为一阶导数.
二、高阶导数求法举例例1求例2求例3求指数函数的n阶导数.例4求幂函数的n阶导数.若则有
例5求对数函数的n阶导数.例6求正弦函数的n阶导数.类似方法有
★高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式设函数和具有n阶导数，则
例7设求常用高阶导数公式
例8设求使存在的最高阶数
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偏 导 数;一、偏导数的定义及其计算法;;;偏导数的求法;如 在 处 ;一般地 设;解;原结论成立．;不存在．;证;有关偏导数的几点说明：;4、;6、偏导数存在与连续的关系;7、偏导数的几何意义;二、高阶偏导数;混合偏导;观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：;解;解;;三、小结;思考题解答;练 习 题;;;练习题答案;;
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高数教学课件6导数概念.ppt
导数的概念;一、导数的定义;即;关于导数的说明：;★;★;;二、由定义求导数（三步法）;例2;例3;例4;例5;例6;四、导数的几何意义与物理意义;法线方程为;例7;2.物理意义;五、可导与连续的关系;注意: 该定理的逆定理不成立.;六、小结
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高阶导数课件.ppt
*高階導數高階導數的概念常用的n階公式萊布尼茲公式
*高階導數所要研究的問題，並不是“接連多次求導”這麼簡單，實際上，所謂高階導數的問題，是“推出給定求導階數，能直接寫出這階導數的公式“。或稱”高階導數通式“在不同情況下，以方便和不容易引起誤解為原則，可以採用不同的符號。見下表：1.概念:定義:若函數的導數仍是的函數，就把的導數叫做函數的二階導數。階導數的導數，叫做一般的:函數的階導數.2.注意：3.高階導數的符號:
*f(x)型y型x0點導數導函數x0點導數導函數x0點導數導函數n階一階二階三階
*例2:例3解4.求高階導數舉例：例1：解：解：
*解：例4例5解：
*同樣可求得例6即解
*例
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高阶导数课件.ppt
**高階導數
**一問題的提出(Introduction)變速直線運動的加速度問題即加速度是位移對時間的導數的導數。
**二高階導數的定義記作類似地，二階導數的導數稱為三階導數,記作
**三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為高階導數.高階導數的定義
**三高階導數的求法例1解1直接法求高階導數就是多次接連地求導數.例2
**例3解
**例4解2數學歸納法證明高階導數
**例5解同理可得
**3高階導數的運算法則公式（3）稱為萊布尼茲公式
**例6解
**3間接法幾個初等函數的高階導數利用已知的高階導數公式,通過四則運算,變數代換等方法,求出n階導數.
**例7解
**四小結與
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高階導數1.如果的導數存在，稱為的二階導數記作：，或2.仍是x的函數，還可以進一步考慮有三階導數或，四階導數或，……n階導數或.一、高階導數的定義3.f(x)在x處有n階導數，那麼在x的某一鄰域內必定具有一切低於n階的導數；二階及二階以上的導數統稱高階導數4.問題：如何求函數的高階導數？一步一步來，利用已知函數的一階導數公式及運算法則高階導數應用舉例解例1y=ax+b,求例2求解下麵介紹幾個初等函數的n階導數例4求指數函數的n階導數解一般地,可得即例5求正弦與余弦函數的n階導數解一般地,可得即用類似方法,可得例6求對數函數ln(1+x)的n階導數解一般地,可得即通常規定0!=1,所以這個公式當