高数(上)§高阶导数.ppt

* 蒙特利尔精神病学院的怀特·佩菲尔德博士用弱电流刺激法证实：我们曾经认知的事物，始终都存在于我们的大脑之中，只是当我们需要时，往往不能有效地把它提取出来。即所谓“垃圾箱理论”。 故，记忆的关键在“忆”不在“记”。为了提高“忆”的效率，应该在“记”的时候尽量多地做好“标记”。 1、概念 函数 y = f ( x ) 导（函）数 y’ 的导（函）数( y’ )’ , 称为 y = f ( x ) 的二阶导数。 一般的，函数 y 的( n –1 ) 阶导（函）数的导（函）数， 称为函数 y 的 n 阶导数。 2、注意（与课本P69第1、2行观点不同） 高阶导数所要研究的问题，并不是“接连多次求导”这么简单，实际上，所谓高阶导数的问题是：“给定求导阶数，能推出 直接写出这阶导数的公式”。或称“高阶导数通式”。 对于隐函数高阶求导法和参数高阶求导法，则是给出诸阶求 导的规律。 3、高阶导数的符号 在不同情况下，以方便和不容易引起误解为原则，可以采用 不同的符号。见下表： §2.2 二 高阶导数 四阶 n阶 三阶 二阶 一阶 x0点导数 导函数 x0点导数 导函数 x0点导数 导函数 f ( x )型 拉格朗日 记法 y型 牛顿 记法 莱布尼茨 记法 补例2 补例3 解 4、求高阶导数举例 补例1： 解： 解： 解： 补例5 解： 补例4 . n 阶导数 的 求 n 次多项式 y = a x a x a x a n n n n + + + + - - 1 1 1 0 L 同样可求得 补例6 即 补例7 解: 当 时， 思考： 补例7 ’ 解: 由 n 阶导数的定义，不难得到 数学归纳法——多米诺骨牌 摆放多米诺骨牌时，只要遵循两条原则， 1、第一块可以倒下（推）； 2、若前面一块倒下，后面一块必定倒下。 则不论摆放多少块骨牌都会倒下。 这两条原则，就是数学归纳法的第一假设和第二假设。 在探求函数的高阶导数时,往往先求一阶、二阶乃至三阶导数,观察其中的规律,再用数学归纳法证明。在前面的例题中，我们都没有证明。现举例说明解题的完整步骤。 由此估计： 用数学归纳法证明如下： n = 1 时，显然 补充例题： 解： 补充例题： 解： 以抽象形式给出的函数的高阶导数 *