线性代数课件-线性方程组的解法.pptx

第二节线性方程组的解法

一、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而

这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR即充分性.(),nrAR=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.

证必要性．,有解设方程组bAx=()(),BRAR设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此

并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性.()(),BRAR=设()()(),nrrBRAR￡==设证毕其余个作为自由未知量,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,

小结有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR=?有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；

二、线性方程组的解法例1求解齐次线性方程组解

即得与原方程组同解的方程组

由此即得

2020解012021对增广矩阵B进行初等变换，022022故方程组无解．03例２求解非齐次线性方程组

例３求解非齐次方程组的通解01解对增广矩阵B进行初等变换02

故方程组有解，且有

所以方程组的通解为

例５设有线性方程组解

其通解为

这时又分两种情形：