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第三章 线性方程组 第一节 线性方程组与矩阵的行等价 一 线性方程组 以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组. 定义3.1 多元一次方程组称为线性方程组. 方程组有个方程, 个未知数(), 而(;)是未知数的系数, ()是常数项. 如果(), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数, 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解. 定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解. 按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性. 通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解. 例3.1 解线性方程组. 解 从上向下消元, 得同解方程组. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组. 再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解, , . 解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算. 定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换. (1) 交换两个方程的位置; (2) 用一个非零常数乘以一个方程; (3) 将一个方程的倍加到另一个方程上去. 注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的. 定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解. 证 先证明只进行一次初等变换. 首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解. 最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解. 二 矩阵的行等价 用矩阵乘法, 可以将线性方程组写作 , 称为线性方程组的矩阵表示. 其中矩阵称为方程组的系数矩阵, 列矩阵称为未知数(矩阵), 列矩阵称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作. 如果数组是线性方程组的解, 令列矩阵, 则有矩阵等式. 列矩阵是方程组的解的矩阵表示. 将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵, 称为线性方程组的增广矩阵. 线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念. 定义3.4 设是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵的行初等变换. (1) 交换的两行; (2) 用非零常数乘以的一行; (3) 将的一行的倍加到另一行上去. 定义3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵变成矩阵, 则称矩阵与行等价. 记作. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果. 性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质. (1) 反身性: ; (2) 对称性: 如果, 则; (3) 传递性: 如果,, 则. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作: 定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解. 通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵. 如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行. 定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵. (1) 非零行在上, 零行在下; (2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方. 例3.2 用行初等变换化简矩阵. 解 做行初等变换, 得 . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得 . 最后, 每行除以其首元素, 得 . 定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵. (1) 每个非零行的首元素等于1; (2) 包含首元素的列的其它元素都是0. 在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理. 定理3.3 对于任意矩阵, 存在一个行最简阵, 使得与行等价. 如果矩阵与行阶梯形阵行等价，则称是的行阶梯形阵.