1线性代数中的线性方程组-Baidu.PDF

第 1 章 线性代数中的线性方程组 介绍性实例 经济学与工程中的线性模型 1949 年夏末，哈佛大学教授列昂惕夫（Wassily Leontief ）正在小心 地将最后一部分穿孔卡片插入大学的 Mark Ⅱ计算机. 这些卡片包含了美 国经济的信息，包括美国劳动统计局两年紧张工作所得到的总共 25 万多 条信息. 列昂惕夫把美国经济分解为 500 个部门，例如煤炭工业、汽车工 业、交通系统，等等. 对每个部门，他写出了一个描述该部门的产出如何 分配给其他经济部门的线性方程. 由于当时最大的计算机之一的 Mark Ⅱ 还不能处理所得到的包含 500 个未知数的 500 个方程的方程组，列昂惕 夫只好把问题简化为包含 42 个未知数的 42 个方程的方程组. 为解列昂惕夫的 42 个方程，编写 Mark Ⅱ计算机程序需要几个月的 工作，他急于知道计算机解这个问题需要多长时间. Mark Ⅱ计算机运算了 56 个小时，才得到最后的答案. 我们将在 1.6 节和 2.6 节中讨论这个解的 性质. 列昂惕夫获得了 1973 年诺贝尔经济学奖，他打开了经济数学建模的新时代的大门. 1949 年在哈佛的 工作标志着应用计算机分析大规模数学模型的开始. 从那以后，许多其他领域中的研究者应用计算机来分 析数学模型. 由于所涉及的数据数量庞大，这些模型通常是线性的，即它们是用线性方程组描述的. 线性代数在应用中的重要性随着计算机功能的增强而迅速增加，而每一代新的硬件和软件引发了对 计算机能力的更大需求. 因此，计算机科学就通过并行处理和大规模计算的爆炸性增长与线性代数密切联 系在一起. 科学家和工程师正在研究大量极其复杂的问题，这在几十年前是不可想象的. 今天，线性代数对许多 科学技术和商业领域中的学生的重要性可以说超过了大学其他数学课程. 本书中的材料是在许多有趣领 域中作进一步研究的基础. 这里举出几个例子，以后将列举其他一些领域. 石油探测. 当勘探船寻找海底石油储藏时，它的计算机要解几千个线性方程组. 方程组的地震 数据从气喷枪的爆炸引起水下冲击波获得. 这些冲击波引起海底岩石的震动，并通过用几英里长的 电缆拖在船后的地震测波器采集数据. 线性规划. 许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的，这些模型包含几百个变量， 例如，航运业使用线性规划调度航班、监视飞机的飞行位置，或计划维修和机场运作. 电路. 工程师使用仿真软件来设计电路和微芯片，它们包含数百万个晶体管. 这样的软件技术依赖 于线性代数方法与线性方程组. 2 第1 章 线性方程组是线性代数的核心，本章使用它通过简单而具体的设置来引入线性代数的许多 重要概念. 1.1 节和 1.2 节介绍求解线性方程组的一个系统方法，这个算法在全书的计算中都会 用到. 1.3 节和 1.4 节指出线性方程组等价于向量方程与矩阵方程. 这种等价性把向量的线性组 合问题化为线性方程组的问题. 线性表示、线性无关和线性变换的基本概念将在本章后半部分 研究，它们在整本书中起着关键的作用，并使我们体会到线性代数的魅力和威力. 1.1 线性方程组 包含变量 x , x , ,x 的线性方程是形如 1 2 n a x +a x ++a x b （1） 1 1 2 2 n n 的方程，其中 b 与系数 a , a , , a 是实数或复数，通常是已知数. 下标 n 可以是任意正整数. 在