线性代数-线性方程组.ppt

* * 第五节 矩阵的初等变换与初等矩阵 二、 矩阵的初等变换 定义 1 设 A = ( aij )m ? n , 则以下三种变换： (1) 互换 矩阵A 的第i行(列)与第j行（列）的位置，记为 ； (2) 用一个非零的数乘以 A 的第i行(列)记为 ； (3) 将 A 的第j行(列)元素的 k 倍加到第i行(列)上.记为 称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换. 注：（1）作初等变换时不能用等号 要用 。 （2）在作初等变换时，尽量使 用行初等变换。 有了初等变换的概念，我们可以将复杂的 矩阵给它简化，通常我们化成下面三种形式: 结论1：我们可以将一个矩阵A = ( aij )m ? n通过行初等变换换成如下的形式： r行 m-r行 行阶梯形矩阵的定义 (1) 零行(元素全为零的行)都在矩阵的最下面 形矩阵 ( 或称梯矩阵 ): 定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯 (2) 非零行(元不全为零的行)中第一个非零元前 面零的个数逐行增加 例如 进一步，对行阶梯形矩阵作行初等变换， 我们还可以把矩阵A = ( aij )m ? n化成如下的行标准形 r行 m-r行 行最简形矩阵 定义　 一个行阶梯矩阵若满足 (1) 每个非零行的第一个非零元为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元所在列的其 它元全为零, 则称之为行最简形矩阵. 定理 任意矩阵 A 都可以经过初等变换化为 这种形式称为标准形. 矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形之间的关系： 结论： 任何矩阵经单纯的行初等变换必能化为行阶梯 标准形矩阵. 形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化成标准 我们以下面的矩阵 B 为例. 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形矩阵 1. 初等矩阵的定义 定义 2 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. 2. 初等矩阵 六种初等变换对应于六种初等矩阵. 一般地，对 于 n 阶单位矩阵 I，有 (1) 交换 I 的第 i、j 行(列) ( i j )，得到的初等 矩阵记作 ( ) 第二节 初等矩阵 (2) 用非零常数 k 乘以 I 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 ( ) (3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 k 倍加到第 j 列) ( i j )，得到的初等矩阵记作 ( ) 3. 初等矩阵的性质 可以直接验证，初等矩阵具有以下性质： (1) 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵； (2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中 4. 初等变换与初等矩阵的关系 矩阵的初等变换和初等矩阵有着非常密切的关系. 由下面的定理给出. 定理 1 设 A = ( aij ) 是 m ? n 矩阵，则 (1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m 阶的初等矩阵左乘 A ; (2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n 阶的初等矩阵右乘 A . 左行右列