线性代数—线性方程组解的结构课件.ppt

第五节 练习： * 在有解的情况下， 回顾： 其中 为增广矩阵。 当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。 一、齐次线性方程组解的结构 由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当 (*) 有零解(即无穷多解)当且仅当 齐次线性方程组解的性质: 证明 （1）若 为 的解，则 也是 的解. （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解. 证明 均是 的解, 则它们的 综上所述, 若 线性组合 也是 的解. 定义 齐次线性方程组 的一组解向量 如果满足： (1) 线性无关； (2) 的任一解向量均可被 线性表示， 则称 为 的一个基础解系。 若 只有零解，则基础解系不存在。 基础解系即为全体解向量组的极大无关组。 定理 证略 下面举例说明基础解系的求法。 求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。 例1 解 自由未知量取为 基础解系: 例2 解 求下面齐次线性方程组的一个基础解系： 自由未知量取为 自由未知量取为 基础解系: 二、非齐次线性方程组解的结构 称 为 的导出组。 非齐次线性方程组解的性质: 证明 （1）若 为 的解，则 是 的解. 证明 （2）若 为 的解， 为 的解， 则 是 的解. 定理 如果 是 的一个特解，那么 的任一解 可表为 其中 是导出组 的解. 因此，当 取遍导出组的全部解时， 就给出 的全部解。 证明 由上述性质可知， 为导出组 的解， 记为 则 当 取遍导出组的全部解时， 就给出 的 全部解。 设非齐次线性方程组 当 取遍导出组的全部解时， 就给出 的 全部解。 全部解的求法： 满足 则有无穷多解, 导出组 (1) 求出导出组 的基础解系 (2) 求出原方程组 的一个特解 则 的全部解为 其中 为任意常数. 例3 解 求方程组 的全部解. 所以有无穷多解。 导出组的基础解系： 特解： 所以全部解为 任意。 例4 方程组的增广矩阵为 导出组的基础解系： 特解： 所以全部解为 任意。 * * *