线性代数课件-线性方程组解的结构.pptx
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1、齐次线性方程组的基础解系一个线性方程组的全体解向量所成的集合称为该线性方程组的解集合．显然，解集合是n维向量的集合．定理：当系数矩阵的秩r小于方程组的个数时，齐次线性方程组的基础解系含有n–r个解向量。第三节线性方程组解的结构
把非齐次线性方程组的右端b换成零向量后得到的齐次线性方程组AX=0，称为非齐次线性方程组的导出组．2、非齐次线性方程组解的结构
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第五节 练习： * 在有解的情况下， 回顾： 其中 为增广矩阵。 当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。 一、齐次线性方程组解的结构 由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当 (*) 有零解(即无穷多解)当且仅当 齐次线性方程组解的性质: 证明 （1）若 为 的解，则 也是 的解. （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解. 证明 均是 的解, 则它们的 综上所述, 若 线性组合 也是 的解. 定义 齐次线性方程组 的一组解向量 如果满足： (1)
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§4.1线性方程组解旳存在性定理在前面旳章节学习中，我们已经研究旳有关线性方程组旳求解问题，本章将在整顿前面知识点旳同步，进一步研究解旳性质和解旳构造。2
(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)3
非齐次方程组解旳存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)向量可由A旳列向量组线性表达。4
定理4.1.2设旳线性方程组旳系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)5
齐次方程组解旳存在性定理(4-3)(矩阵形
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* *
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线性方程组的解的结构Chapter3(1)
教学要求：理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念;理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件;
形如01的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组.02
1系数矩阵2增广矩阵3常数项向量4解向量是列向量5方程组的矩阵形式：6方程组的向量形式：
BDAC若方程组有解，则称方程组相容；若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组；若方程组无解，则称方程组不相容；若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组.
方程组的矩阵形式：方程组的向量形式：齐次线性方程组总有零解所以齐次线性方程
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第五节线性方程组解的结构;１．解向量的概念;那么上述方程组〔1〕可写成向量方程;称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程
(2)的解．;２．齐次线性方程组解的性质;（2）若为的解，为实数，则
也是的解．;１．根底解系的定义;定理1;;设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨
设的前个列向量线性无关．;现对分别取以下组数：;依次得;下面证明是齐次线性方程组解空
间的一个基础解系．;由于是的解故也是的
解.;所以是齐次线性方程组解空间的一个基础解系.;例1求齐次线性方程组;例2解线性方程组;即方程组有无穷多解，;所以原方程组的一个根底解系为;例3;;证明：;证明:;２．非齐次线性方程组的通解;３．与
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线性代数义线性方程组.doc
第三章 线性方程组
第一节 线性方程组与矩阵的行等价
一 线性方程组
以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.
定义3.1 多元一次方程组称为线性方程组.
方程组有个方程, 个未知数(), 而(;)是未知数的系数, ()是常数项.
如果(), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
数组是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数, 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.
定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.
按
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设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ； …… 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , …, kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + … + kml am 若 Cm×n = Am×l B
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* * 第五节 矩阵的初等变换与初等矩阵 二、 矩阵的初等变换 定义 1 设 A = ( aij )m ? n , 则以下三种变换： (1) 互换 矩阵A 的第i行(列)与第j行（列）的位置，记为 ； (2) 用一个非零的数乘以 A 的第i行(列)记为 ； (3) 将 A 的第j行(列)元素的 k 倍加到第i行(列)上.记为 称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换. 注：（1）作初等变换时不能用等号 要用 。 （2）
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二、线性相关与线性无关 * * §3.3 向量间的线性关系 一、向量组的线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组的秩 线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 Ax?b和x1a1?x2a2? ??? ?xnan?b? 因此? 线性方程组Ax?b是否有解? 就相当于是否存在一组数? x1?k1? x2?k2? ???? xn?kn? 使线性关系式 k1a1?k2a2? ??? ?knan?b? 成立?
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课件*特别注意：从矩阵变到行阶型矩阵，再到行简梯形矩阵的过程中，不能实施列变换，只能做行变换。课件*未知数个数课件*线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.方程个数小于未知数个数于是，方程组Ax=O只有零解.矛盾方程个数小于未知数个数课件*充分性证必要性,有解设方程组bAx=则B的行简梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1.所以，方程组无解.反证法矛盾方程个数小于未知数个数课件*充分性.总结非齐次线性方程组解的情况：齐次线性方程组解的情况：课件*总结（方阵的情形）2、非齐次线性方程组解的情况：1、齐次线性方程组解的情况：线性方程组的解法齐次线性方程组：非齐次线性方程组：例1求解齐次线性方程
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线性方程组
线性方程组方程、多项式与线性方程组线性方程的矩阵表示矩阵
2.1方程、多项式与线性方程组老子的《道德经》第四十二章有“道生一，一生二，二生三，三生万物”的论述，这代表了我国道教的宇宙生成论。时至今日，这一论述仍然指导着人们认识这个世界。整个线性代数基本上都遵循这一规律，如线性方程组的方程个数，方程中未知量的个数都是由一到多进行推导的。
2.1方程、多项式与线性方程组一切的数学问题都是以建立等价关系的等式出发的，如果等式中有某个量未知，等式就变成了一元一次方程这里面有两个“一”，一个是“元”，也就是未知量或，一个是“次”，也就是的次幂.关于“次”这条线可以按以下思路延伸：??
2.1
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《线性代数42非齐次线性方程组》课件.ppt
4.2非齐次线性方程组 * * 1.性质 证 2.性质 证 三.求解 ：定理3给出了求解步骤，归纳如下 例1 求解非齐次线性方程组 解 例2 求解非齐次线性方程组 解 所求非齐次方程组通解 例3 设有线性方程组 解一 得同解方程组 所求方程组通解： 解二 例4 解 附 录 1.经济学投入产出分析应用 2.线性方程组迭代法（Jacobi法） 1.投入产出分析的应用 在一个国家或地区的经济系统中, 各部门(或各企业)既有消耗又有生产, 或者说既有“投入”又有“产出”, 生产的产品供给各部门和系统外以满足需求, 同时也要消耗系统内各部门所提供的产品, 消耗的目的是为