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线性代数与-线性方程组2 .ppt

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设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即 对于 b1 ,存在一组实数 k11, k21, …, km1 ,使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ; 对于 b2 ,存在一组实数 k12, k22, …, km2 ,使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ; …… 对于 bl ,存在一组实数 k1l , k2l , …, kml ,使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + … + kml am 若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即 则 结论:矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示, B 为这一线性表示的系数矩阵. 若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即 则 结论:矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示, A 为这一线性表示的系数矩阵. 口诀:左行右列 结论:若 C = AB ,那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵.(A 在左边) 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵.(B 在右边) A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ,使 AP1 P2 …, Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P,使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀:左行右列. 把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵 向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K,使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A) 推论:向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B). 证明:向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) . 因为 R(B) ≤ R(A, B) ≤R(A)+R(B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B) 例:设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示,并求出表示式. 解:向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) . 因为R(A) = R(A, b) = 2, 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示. 行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (-3c + 2) a1 + (2c-1) a2 + c a3 . 小结 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组AX = B 有解 向量组 A 与 向量组 B 等价 §4 向量组的线性相关性 引言 问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表示? 问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线 性组合的系数是否不全为零? 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表示? 问题1′:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解? 回答:齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解. 事实上,可令k1 = k2 = … = km =0 ,则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0(零向量) 问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线性组合的系数 是否不全为零? 问题2′:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解? 回答:齐次线性方程组不一定有非零解,从而线性组合的系数 不一定全等于零. 例:设 若 则 k1 = k2 = k3 =0 . 向量组的线性相关性 定义:给定向量组 A:a1, a2, …, am ,如果存在 不全为零的实数 k1, k2, …, km ,使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0(零向量) 则称向量组 A 是线性相关的,否则称它线性无关. 向量组 A:a1, a2, …, am 线性相关 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 R(A)
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