线性代数与-线性方程组2 .ppt

设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ； …… 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , …, kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + … + kml am 若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则 结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵． 若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则 结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵． 口诀：左行右列 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边） A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀：左行右列. 把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵 向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A) 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． 因为 R(B) ≤ R(A, B) ≤R(A)＋R(B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B) 例：设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式． 解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ． 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示． 行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ． 小结 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组AX = B 有解 向量组 A 与 向量组 B 等价 §4 向量组的线性相关性 引言 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线 性组合的系数是否不全为零？ 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零． 例：设 若 则 k1 = k2 = k3 =0 ． 向量组的线性相关性 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在 不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关． 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 R(A)