线性代数第四章线性方程组.ppt

山西大学商务学院例用矩阵消元法求解下列线性方程组:解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的阶梯形方程由0=－4可知，这是一个矛盾方程组，无解．所以原方程组也无解。线性代数例解下列线性方程组:解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为即方程组有无穷多个解。山西大学商务学院线性代数山西大学商务学院由上面的阶梯形矩阵继续进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵，完成回代过程(接上面的最后一个矩阵)：最后的阶梯形矩阵对应的线性方程组为与原方程已同解。线性代数山西大学商务学院取自由未知量就可以确定对应的值，从而得到方程组的全部解(或一般解)：因此原方程组有无穷多组解。这时，变量为自由未知量。线性代数山西大学商务学院解的情况对一般的线性方程组对于增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵或线性代数当时,方程组无解；当时,方程组与三角形方程组同解，且解惟一。当时,方程组与阶梯形方程组同解，且解有无穷多组.线性代数山西大学商务学院4.3.2线性方程组解的存在性定理n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩。推论齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是。即：推论线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是。即：。推论4.3.3若方程组中有，即方程个数小于末知量个数时，方程组必有非零解。山西大学商务学院01020304推论4.3.4若方程组中有，即方程个数等于末知量个数时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。推论4.3.5n元非齐次线性方程组无解。定理n元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即。线性代数线性方程组第四章202X学习要点及目标线性代数山西大学商务学院掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组的通解的结构，掌握非齐次线性方程组的解与齐次线性方程组的解之间的关系，会用齐次线性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。§4.1线性方程组的概念内容要点：★线性方程★线性方程组★线性方程组解的特殊情况线性方程定义方程称为n元线性方程，其中，为变量，为常数。满足方程的一个n元有序数组称为n元方程的一个解。定义4.1.2设非零方程的首非零项系数是对的任一组数可以得到方程的一个特解，其中变量为自由变量。方程的所有解的集合称为方程的通解或一般解。线性代数山西大学商务学院例如是一个二元方程，不同时为零时，方程有无穷多解，如为二元方程的一个特解，为二元方程的通解；当同时为零,若时，方程无解；当同时为零,若时，方程有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。例4.1.1求三元方程的两个特解和通解。解：这里为首非零元，为自由变量，给取任意值，就可求出不妨设代入方程，就可得到故或为