x线代PPT 线性方程组(第四章).ppt

(取 x2, x5为自由未知量) 对应于方程组 x 1 = x 2 – 7 x5 x 3 = – 2 x5 x 4 = 3 x5 x1 x2 x3 x4 x5 1 2 1 分别令 x2 = 1, x5 = 0； x2 = 0, x5 = 1 X2= 故方程组的通解为 k1X1 + k2 X2, k1、k2 ? R。 得 X1= ， 三、特征值和特征向量的求法 齐次线性方程组 ( A – ?E ) X = 0有非零解 设 A ? R n?n， ? 为矩阵 A 的一个特征值， 而 X为矩阵 A 对应于特征值 ? 的一个特征向量。 A X= ? X， 有 其中X 是非零向量 ( A – ?E ) X = 0 | A – ?E | = 0 A X= ? X 即： 方程(4)是一个关于? 的 n 次多项式方程，称为 A的特征方程。 ? 的 n 次多项式? (?)= | A – ?E |，称为 A 的特征多项式。 | A – ?E |= = 0 (4) – ? – ? – ? 求矩阵A的特征值，特征向量的过程 (1) 由特征方程 | A – ?E | = 0，求出特征值 ?。 (2) 由(A – ?E ) X = 0，求出非零向量 X， 注：若齐次线性方程组(A – ?E ) X = 0的基础解系是 X1, X2, …, Xn–r。 X = k1X1 + k2X2 + …+ Kn – rXn – r 则对应于? 的所有特征向量 X 可表示成 其中 ki 不全为 0，i = 1, 2, …, n – r。 即为对应于? 的特征向量。 例 6 求 的特征值和特征向量。 解： ? A有一个特征单根 ?1 = 2 二重特征根 ?2 = ?3 = 1 | A – ?E | = = (? – 2)(? – 1)2 – ? – ? – ? (1) 设 A 的对应于?1 = 2的特征向量为 X = 解方程组 ( A – 2E ) X = 0 A – 2E = r1 ? r3 r2 + 4r1 r3 + 3r1 r3 – r2 r (A – 2E) = 2 3 有一个自由未知量 x3 x1 = 0, x2 = 0 取x3 = 1 得 X1 = A的对应于? = 2的特征向量为 其中 k1? 0?R X = k1X1 = k1 (2) 对于?2 = ?3 = 1，设对应的特征向量 X = 解方程组 ( A – E ) X = 0 A – E = r1 ? r3 r2 + 4r1 r3 + 2r1 r3 ? r2 r3 – 2r2 对应的方程组为 x1 = – x3 x2 = – 2x3 取 x3 = 1, 得 X2 = A的对应于 ? = 1 的特征向量为 其中 k2 ? 0 ? R X = k2 例7 解： 的特征值： 一、非齐次线性方程组的解的存在性 m 个方程，n 个未知量的非齐次线性方程组 (1) a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … … … … … … … am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm §1 线性方程组的消元法 称 为方程组(1)的系数矩阵 为方程组(1)的增广矩阵 A= 定义1 若非齐次线性方程组(1)有解，则称该方程组是相容的。否则，则称不相容。 例1 解方程组 2x1 – x2 + 3x3 = 1 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4 2x1 +2x3 = 6 解： 用消元法 2x1 – x2 + 3x3 = 1 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4 2x1 + 2x3 = 6 2x1 – x2 + 3x3 = 1 4x2 – x3 = 2 x2 – x3 = 5 r2 – 2r1 r3 – r1 (2) – 2(1) (3) – (1) x1 = 9 x2 = – 1 x3 = – 6 此时 (未知数的个数) 是方程组的唯一解 例2 讨论方程组 是否有解。 2x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 + x3 = 5 x1 + x2 + 5x3 = – 7 2x1 + 3x2 – 3x3 = 15 解： r(A) = 3, r(A) = 4 初等行变换 1 对应的方程组化成 x1 + 3 x2 + x3 = 5 x2 – 2x3 = 6 2x3 = – 2 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1 方程组无解 ! 例 3 讨论方程组 是否有解 x1 + x2 + x3 – x4 = 1 x1 – x2 – x3 + x4 = 0 2x1 – 2x2 + 2x3 – 2x4 = 2 解 r2 – r1