线代线性方程组解的结构.ppt

解 例5 求下述方程组的解 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组 求基础解系 令 依次得 求特解 所以方程组的通解为 故得基础解系 另一种解法 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 １．齐次线性方程组基础解系的求法 四、小结 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形 由于 令 　　（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量． 故 为齐次线性方程组的一个基础解系. ( ) ( ) n B R A R = = ( ) ( ) n B R A R = ２． 线性方程组解的情况 思考题 思考题解答 第3.5节 线性方程组解的结构　 一.齐次方程组解的性质 二. 基础解系及其求法 四 .小结 思考题 三.非齐次方程组解的性质 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的 解，则 （2） 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １．基础解系的定义 二、基础解系及其求法 ２．线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基即为方程组的基础解系． 　３．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例3 证 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 三、非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 ３．与方程组 有解等价的命题 线性方程组 有解 ４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于系数行列式不等于零且方程 的个数等于未知量的情形，计算量大，容易出错， 但有重要的理论价值，可用来证明很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． 例4 求解方程组 解