4-4 线性方程组解的结构.ppt

* * * * 第四节 线性方程组的解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构 向量组的线性相关性 三、小结 思考题 返回 上页 下页 一、齐次线性方程组的解的结构 齐次线性方程组可写成向量方程的形式： 1. 解向量的概念 其中 是由未知量 x1, x2, …, xn 构成的 n 维向量. 因此，方程组的解称为解向量. (含有 m 个方程、n 个未知量) 返回 上页 下页 例如，齐次线性方程组 可写成向量方程： 此方程组有无穷多解. 都是方程组的解向量. 容易验证 返回 上页 下页 2. Ax=O 的解的性质 定理 1 若 ?1, ?2 是齐次线性方程组 Ax=O 的两个解向量，则 k1?1+ k2?2 (k1, k2为任意常数) 也是它的解向量. 证 故， k1?1+ k2?2 也是 Ax=O 的解向量. 说明 此定理 的结论显然对有限数目的多个解也成立. 证毕 返回 上页 下页 3. 基础解系的概念 定义 设 ?1, ?2 , …, ?p 是 Ax=O 的解向量， 则称 ?1, ?2 , …, ?p 是 Ax=O 的一个基础解系. (1) ?1, ?2 , …, ?p 线性无关； (2) Ax=O 的任一解向量x能由?1, ?2 , …, ?p 线性表示. 如果 说明 (1) 若记 Ax=O 的全体解向量的集合为 S，以上定义的基础解系就是解集 S 的一个极大线性无关组. 即 x=k1?1+k2?2+…+ kp?p 返回 上页 下页 (2) 如果找到了 Ax=O 的一组基础解系?1, ?2 , …, ?p ，那么， Ax=O 的通解(一般解)可表示为： k1?1+k2?2+…+ kp?p (k1, k2 , …, kp 为任意常数) 返回 上页 下页 4. 基础解系的求法 定理 2 设 A 是 m?n 矩阵，且 R(A) = r n， 则，齐次线性方程组 Ax=O 存在基础解系，且基础解系中有 n－r 个解向量. 首先证明：如果齐次线性方程组有非零解，则方程组有基础解系. 证 (1) 证明有 n－r 个线性无关的解向量 ?1, ?2 , …, ?n-r . 按照高斯消元法步骤，对 A 作初等行变换，将 A 化为行最简形矩阵. (即解集合 S 的秩等于 n－r ) 返回 上页 下页 不失一般性，可设 A 的行最简形为 返回 上页 下页 相应的，Ax=O 的同解方程组为 选择 x1, x2, …, xr 为基本未知量，其余的 n－r 个未知量(即: xr+1, …, xn )为自由未知量. 注意，自由未知量的个数为 n－r ，但选择方式不是唯一的. 例如，可以将 xr 改为自由未知量，同时将 xr+1, …, xn 中的一个改为基本未知量. 返回 上页 下页 对自由未知量取如下 n－r 组不同的数： 注意，自由未知量也可取另外 n－r 组数，只要保证它们线性无关的即可. 例如 返回 上页 下页 将自由未知量的各组取值分别代入同解方程组，相应地，可求得 n－r 组基本未知量的值： 返回 上页 下页 将自由未知量和基本未知量的各组值合起来, 得 由于自由未知量的各组值对应的向量是线性无关的, 根据“低维无关，高维无关”，以上的 n－r 个解向量是线性无关的. 返回 上页 下页 (2) 证明 AX=O 的任一个解 ? 都可由 ?1, ?2 , …, ?n-r 线性表示. 对自由未知量任意取一组值： 代入同解方程组，可得一个解 ? ， (k1, k2 , …, kn-r 为任意常数) 返回 上页 下页 因此，AX=O 的任一个解都可由 ?1, ?2 , …, ?n-r 线性表示. 故 ?1, ?2 , …, ?n-r 是 AX=O 的基础解系. 证毕 返回 上页 下页 以上证明过程提供了求基础解系的两种方法： 说明 对 n－r 个自由未知量取 n－r 组数 (要保证相应的向量线性无关)， 代入同解方程组，可得 n－r 个线性无关的特解(基础解系). 方法一 通常为 返回 上页 下页 基础解系不是唯一的. 这是因为: (1)对 n－r 个自由未知量也可以取另外的 n－r 组数而求得 n－r 个线性无关的特解； (2) 自由未知量的选择也不是唯一的. 虽然基础解系不是唯一的，但任何一个基础解系?1, ?2 , …, ?n-r 构成的解集合 S = { k1?1+k2?2+…+ kn-r?n-r | k1, k2 , …, kn-r 为任意常数 } 都是等同的 ( AX=O 的全部解的集合). 返回 上页 下页 对自由未知量取一组值 k1, k2 , …, kn-r (任意常数). 代入同解方程组，可得含有参数 k1, k2 , …, kn－r 的通解： 其中