2–4线性方程组解的结构.ppt

第四节 线性方程组解的结构;若AX=0有非零解, 这些解具有哪些性质? 解集合的整体结构如何?;定义2.4.1; 如果 ?1, ?2, …, ?s是齐次线性方程组AX=0 的 一个基础解系, 那么, 对任意常数c1,c2,…,cs, ?=c1?1+c2?2+…+cs?s 是 AX=0 的解, 称这种形式为AX=0 的通解 齐次线性方程组的关键问题就是求通解 而求全部解的关键问题是求基础解系;定理2.4.1;? 齐次线性方程组基础解系的求法;例1;由于n-r = 5-2 = 3, 所以有三个自由未知量: x2, x4 , x5, 基础解系也由三个解向量组成.同解方程组为;基础解系为; 若方程组的解不唯一, 这些解具有哪些性质? 解集合的整体结构如何?;与齐次线性方程组解的性质不同, 如果γ1,γ2是; 如?0是AX=β的一个解, ?是其导出组AX=0的解 由性质2 ? = ?0 +?是AX=β的解 设r(A)=r(A, β) = r n 对AX=β的任意一个解 ?1 ∵ ?1- ?0= ? ???其导出组AX=0的解 ∴ ?1- ?0可由其导出组AX=0的基础解系 ?1,?2,…,?n-r 线性表出 即 ?1-?0= c1?1+c2?2+…+cn-r?n-r ∴ ?1=?0+ c1?1+c2?2+…+cn-r?n-r 即 ?1 = ?0 +? 那么当?取遍AX=0的所有解时?1就取遍了 AX= β的所有的解.(c1,c2,…cn-r为任意常数);定理2.4.2; 设X1,X2,…,Xt是非齐次线性方程组AX=β?0 的解向量, 证明 X0=c1 X1+c2 X2+…+ct Xt 是AX=β 的解当且仅当c1 +c2+…+ct =1;由此可见, 非齐次方程组解对于线性组合并 不一定封闭,只有组合系数的和等1的时候, 解向量组的组合才是解!;例4;又因为n-r(A)=5-2=3,导出组有三个自由未知量x3, x4 ,x5, 导出组的基础解系也由三个解向量组成,分别取 [x3, x4 , x5]T 为 [1,0,0]T, [0,1,0]T, [0,0,1]T 解得导出组的基础解系为;对非齐次方程组,令x3= x4= x5=0, 求出一个特解;例5;(1) 当a?2 且 t?1时,R(A,β)=R(A)=4=n, 解唯一 (2) 当t=1时, R(A,β)=4?3=R(A),无解;21;其中k为任意常数