3–5线性方程组解的结构.ppt

复 习;第五节 线性方程组的解的结构 ;一、齐次线性方程组的解的结构 ;2.齐次线性方程组的基础解系 ; (1)用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A化为简化行阶梯形;其中xr?1? ??? ? xn为自由未知数? ; 例1 求齐次线性方程组 ;? ; 解 ; 例4 设Am?nBn?l?0? 证明R(A)?R(B)?n ? 证 记B?(b1? b2? ???? bl)? 则 A(b1? b2? ???? bl)?( 0? 0? ???? 0)? 即 Abi?0(i?1? 2? ???? l)? 表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程Ax?0的解? 设方程Ax?0的解集为S? 由bi?S? 知有R(b1? b2? ???? bl)?RS? 即R(B)?RS? ; 例5 证明R(ATA)?R(A)? 证 设A为m?n矩阵? x为n维列向量? 若x满足Ax?0? 则有 ATAx?0? 即 (ATA)x?0? 反之? 若x满足(ATA)x?0? 则 xT(ATA)x?0? 即 (Ax)T(Ax)?0? 从而推知 Ax?0? ; 1.非齐次线性方程组解的性质 ; 若?*是方程组Ax?b的某个解? ?1? ?2? ???? ?n?r是方程组Ax?0的基础解系? 则方程组Ax?b的通解为 k1?1?k2?2? ??? ?kn?r ?n?r??*? (k1? ??? ? kn?r ?R)? ; 例6 求解方程组 ; 解 ;小结;第三章 总结