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第四章线性方程组解析.ppt

发布:2017-08-23约1.21万字共48页下载文档
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, 即 。 又当 时, 故方程组的基 础解系只有一个解向量,从而 的三个列线性相 关,得 . 例9 设 为 实矩阵,证明: . 证 为 矩阵,则 为 阶矩阵,取齐次线性方程组: 型: ; 型: 。 先证 和 为等价的线性方程组。 任取 ,即 ,则有 , 即 ,又取 ,即 , 两边左乘 ,得 , 即内积 ,从而 维向量 为零向量,即 综上所述,二者的解空间相等,即 从而 由定理4.4, ,这就证得了 §4.4 非齐次线性方程组解的结构 设 型非齐次线性方程组 。 若令其中 ,则得到一个相应的齐次线性方 程组 ,称 为非齐次线性方程组的导 出方程组。 定理4.2已给出非齐次线性方程组有解的充 要条件和解不唯一的充要条件,Gauss消元法显 示当线性方程组解不唯一时,一定是有无穷多 个解的。这里将从非齐次线性方程组解的性 质,给出解的结构。 非齐次线性方程组的解忧如下性质。 定理4.5 非齐次线性方程组 的任意 两个解 的差 是它的导出方程组 的解。 证 由题意, ,故 , 从而 是导出组 的解。 值得指出的是非齐次线性方程组 的 两个解之和 ,由于 , 从而 不再是方程组的解,即非齐次线性方 程组的解的集合已不再是向量空间。这里我们 将利用其导出方程组解的结构给出非齐次线性 方程组解的结构。 定理4.6 设非齐次线性方程组 有解, 是它的一个解.设 表示 的导出方程 组的解,则非齐次线性方程组 的 通解为 (4.6) 证 设 是非齐次线性方程组的任何一个 解,则由定理4.5 , 是导出方程组 的解。 由 的任意性,当 取遍 的一切解 时,得到 是 的通解,从而有 即 的通解为: 若设 的一个解为 , 为导出方程组 的基础解系,则非齐次线性 方程组的解为 . 这和第二节用Gauss消元法求得的非齐次线 性方程组的解的形式相一致。实际上,用Gauss 消元法求出的非齐次线性方程组的解就是通解. 例10 求下列非齐次线性方程组的通解和导 出方程组的基础解系。 (1) ;(2) . 解 (1)对增广矩阵做行初等变换: ,方程组有解;又 ,解唯一。 的行标准型给出唯一解:
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