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第四章线性方程组答案.doc

发布:2016-05-08约字共5页下载文档
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《线性代数》单元自测题 第四章 线性方程组 答案 填空题: 1.; 2.; 3.3; 4.. 多选题: 1.C; 2.A B C; 3.B; 4.C ; 三、计算题 1.解:把方程组的系数矩阵通过行初等变换化为最简梯矩阵 所以原方程组的同解方程组为 即 令,得到原方程组的基础解系为 ,, 故原方程组的全部解是,这里是任意常数。 2.解:对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为最简梯矩阵 则原方程组的同解方程组为 令,得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 , 于是原方程组的通解为 这里为任意常数。 3.解:对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 当时,,所以线性方程组有解,此时增广矩阵化为 则原方程组的同解方程组为 令,得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 , 于是原方程组的通解为 这里为任意常数。 4.解:设可由,,线性表示,其表达式为 , 其中为组合系数,为未知。把,,和代入上式,得到关于的方程组 ⑴ 对上述方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 ⑴当时,,方程组⑴有唯一解,所以可由,,线性表示,且表示式唯一,组合系数即为方程组⑴的唯一解; ⑵当,即当时,继续化简方程组⑴的增广矩阵得 进一步,当,即时,,方程组⑴有无穷多解,相应地,可由,,线性表示,且表示式不唯一,下求出一般表示式。此时增广矩阵化为 则方程组⑴的同解方程组为 其中是自由变量,取,得到方程组⑴的全部解 ,,, 其中是任意常数,这个全部解就是相应的组合系数,所以由,,线性表示的一般表示式为 其中是任意常数。 四、证明题: 1. 证明:对方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 (依次将第1,2,3,4行加到第5行上) 于是 原方程组有解。 2. 证明:由可知,齐次线性方程组的基础解系包含个解向量。为证结论,只需证是的个解且线性无关。 先证是的个解。由于是的个解,所以有 ,,,……, 于是有 ………………………………………… 所以是的个解。 再证线性无关。设存在常数,使得 , 整理可得 由于线性无关,故有不全为零,于是有不全为零,所以线性无关。 结论得证。 2 - -
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