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第四章解线性方程组的迭代法

三种基本的迭代法Jacobi迭代法(1.公式的推导,2.Jacobi迭代法的矩阵形式,3.Jacobi迭代法的缺陷)公式的推导

对于n阶方程组Ax=b,假定系数矩阵A的对角元(i=1,2,…,n)时，类似于(4.3)式的推导，可得雅可比迭代格式为：

在一定条件下，对任意初始向量，按迭代公式(4.4)求出的向量序列的极限存在且等于方程的解。这种用迭代格式(4.4)求线性代数方程组近似解的方法称为雅可比迭代法，也称简单迭代法。

Jacobi迭代法的矩阵形式

Jacobi迭代法的缺陷

迭代公式（将4.3式作一点改进，得到下式：）高斯－赛德尔(GaussSeidel)迭代法

用矩阵形式表示

（重点）

3.程序框图04五月2025主讲韩光朋14

（参看4.8式）014.1.3超松弛迭代法(SOR方法)（要求了解）02（预算一次）03

（重算一次）01（将两步并为一步）02

2.用矩阵形式表示04五月2025主讲韩光朋17

SOR方法的程序框图

（略）

4.2迭代法的收敛条件04五月2025主讲韩光朋21

4.2.1迭代法收敛的概念04五月2025主讲韩光朋22

用范数来讨论迭代法的收敛条件

4.2.2迭代法收敛性的判定定理04五月2025主讲韩光朋24

定理4.1只是用作理论研究，实际计算时仍用各自方法的迭代格式。

（证明略）有了定理4.2，对于某些方程组，可直接用系数矩阵来判定使用雅可比迭代法和G-S迭代法求解是否收敛。重新考察例3，由于系数矩阵，可知矩阵A按行严格对角占优。因此，由定理4.2,采用雅可比迭代法和G-S迭代法求解例3的方程组收敛。

注：引理4.1的证明涉及到线性代数中的约当标准型和约当矩阵的有关知识，对引理4.1的证明感兴趣的读者可参看张徳荣、王新民、高安民编，《计算方法与算法语言》第102面引理4。

利用定理4.3可以证明松弛迭代法收敛的一个充分条件。定理4.4设方程组Ax=b的系数矩阵A为实对称正定阵，且0w2，则松弛迭代法收敛。（证明略）