线性代数三线性方程组..ppt

二、线性相关与线性无关 * * §3.3 向量间的线性关系 一、向量组的线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组的秩 线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 Ax?b和x1a1?x2a2? ??? ?xnan?b? 因此? 线性方程组Ax?b是否有解? 就相当于是否存在一组数? x1?k1? x2?k2? ???? xn?kn? 使线性关系式 k1a1?k2a2? ??? ?knan?b? 成立? 例如? b?(2, ?1, 1)? a1?(1, 0, 0)? a2?(0, 1, 0)? a3?(0, 0, 1)? 则有 b?2a1?a2?a3? 即b是向量组a1? a2 ? a3的线性组合? 或者说b可由a1? a2 ? a3线性表示? 一、向量组的线性组合 定义3?5(线性组合与线性表示) 对于给定向量b? a1? a2? ???? as? 如果存在一组数k1? k2? ???? ks? 使关系式 b?k1a1?k2a2? ??? ? ksas 成立? 则称向量b是向量组a1? a2? ???? as的线性组合? 或称向量b可以由向量组a1? a2? ???? as线性表示? 一、向量组的线性组合 定义3?5(线性组合与线性表示) 对于给定向量b? a1? a2? ???? as? 如果存在一组数k1? k2? ???? ks? 使关系式 b?k1a1?k2a2? ??? ? ksas 成立? 则称向量b是向量组a1? a2? ???? as的线性组合? 或称向量b可以由向量组a1? a2? ???? as线性表示? 定理3?3(判断方法) 设b? a1? a2 ? ???? an是m维列向量组? 则向量b可由向量组a1? a2? ???? an线性表示的充分必要条件是? 以a1? a2 ? ???? an为列向量的矩阵与以a1? a2 ? ???? an? b为列向量的矩阵有相同的秩? 提示? 根据方程x1a1?x2a2? ??? ?xn an?b有解的充要条件? 定理3?3(判断方法) 设b? a1? a2 ? ???? an是m维列向量组? 则向量b可由向量组a1? a2? ???? an线性表示的充分必要条件是? 以a1? a2 ? ???? an为列向量的矩阵与以a1? a2 ? ???? an? b为列向量的矩阵有相同的秩? 定理的另一叙述? 设b? a1? a2 ? ???? an是m维行向量组? 则向量b可由向量组a1? a2? ???? an线性表示的充分必要条件是? 以a1T? a2T ? ???? anT为列向量的矩阵与以a1T? a2T ? ???? anT? bT为列向量的矩阵有相同的秩? 定理3?3(判断方法) 设b? a1? a2 ? ???? an是m维列向量组? 则向量b可由向量组a1? a2? ???? an线性表示的充分必要条件是? 以a1? a2 ? ???? an为列向量的矩阵与以a1? a2 ? ???? an? b为列向量的矩阵有相同的秩? 例1? 任何一个n维向量a?(a1, a2, ???, an)都是n维向量组e1?(1, 0, ???, 0)? e2?(0, 1, ???, 0)? ??? en?(0, 0, ???, 1)的线性组合? 这是因为a?a1e1?a2e2? ??? ?anen? 向量组e1? e2? ???? en称为Rn的初始单位向量组? 例2? 零向量是任何一组向量的线性组合? 这是因为o?0?a1?0?a2? ??? ?0? as ? 例3? 向量组a1? a2 ? ??? ? as中的任一向量ai(1?i?s)都是此向量组的线性组合? 这是因为ai?0?a1? ??? ?1?ai ? ??? ?0? as ? 例4? 判断向量b1?(4, 3, ?1, 11)与b2?(4, 3, 0, 11)是否各为向量组a1?(1, 2, ?1, 5)? a2?(2, ?1, 1, 1)的线性组合? 若是? 写出表示式? 设x1a1?x2a2?b1? 解? 秩(a1T a2T b1T)?秩(a1T a2T)? 且存在x1?2? x2