第三章线性方程组 线性代数.ppt

Ch3、线性方程组;§1、向量组的线性相关性; 线性表示。 例如，对 ，有 ，即 是 的线性组合，或称 可由 线性表示。 定义3：对两个向量组 ，如A中的每一向量均可由B中的向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。若A可由B表示，B也可由A表示，则称A与B等价，记为A~B。 ; 定义4：对向量组 ，若有一组不全为零的数 ，使 , 则称向量组 线性相关，否则称向量组 线性无关。 例如, 对上面的 , 有 由定义知 线性相关。 定理1：向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m ;?1个向量线性表示。 证：(充分性)不妨假定 可由其余m?1个线性表示, 即 若令 ，则 不全为零，由定义知 线性相关。 必要性：设有不全为零的 ，使 ，不妨令 ，则 ; 的线性相关性。 解：设 ，即 由 线性无关，得 其系数行列式 ，即齐次线性 ;方程组仅有零解，由定义知， 线性无关。 定理2：若 线性相关，则 也线性相关。 推论：若 线性无关，则 也线性无关。 可简记为“全体无关，部分无关；部分相关，全体相关”。 定理3: 设 无关, 而;相关, 则 可由 表示,且表示式唯一. 证: 相关, 即有不全为零的 , 使 若 ，则 不全为零，且使 ，由定义知， 相关，矛盾，故 ，从而 ，即 可由 表示。 若;即 又 无关，由定义知 得 ，即表示式唯一;例3.1 设 ，求 。 解： 例3.2 讨论向量组 的线性相关性。 解：设有数 ，使得