第三章线性代数方程组.doc

第3章 线性代数方程组 3.1.1 矩阵秩的定义 定义1 矩阵A的k阶子式 在矩阵A中任取k行，k列，位于这k行，k列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有的r＋1阶子式（如果有的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为，简记为。 定义3 满秩阵 设A为n阶方阵，若＝A，则称A为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） （2）其中； （3）等价于； (4)； （5）设A，B为同阶矩阵，则 设A为矩阵，B为矩阵，则 特别当AB＝0时，成立。 （7） 3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则 （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 ； (3) 设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 (4)设A为方阵，则。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求的解，其中。 方法（1） 克莱娒法则 ，其中为右端列取代A的第列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 ，其中或用求。 方法（3） G法 将增广矩阵经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J法 将增广矩阵经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 （1）齐次线性方程组有解的条件 为的平凡解。 当时，只有零解。 时，有含个参数的无穷多组解。 注有非零解。 （2）齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质 为的解，则仍为的解，其中为任意常数。 (4)基础解系 设为的解，满足1）线性无关；2）任一的解均可由线性表出，则称为的一个基础解系。 注的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数必为。 （5）齐次方程的通解 若为的一个基础解系，则的通解为 3.1.7 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组有解的条件 当时，方程组有唯一解。 当时，方程组有含个参数的无穷多组解。 当时，方程组无解。 非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 解的性质 若为的解，则为其导出方程组的解。 注 为的一个解，而不再是的解。 （4）非齐次线性方程组的通解 若若为的一个基础解系，为的一个解，则的通解为 （5）解的结构 非齐次线性方程组的通解等于对应的齐次线性方程组的通解，加上非齐次线性方程组的一个特解，即 3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩 例1 求矩阵的秩。 解 因为A的第1、第2行对应成比例，故A的任意三解子式必为零，即，而子式 知，综上所述。 例2 设，求的秩。 解 因为 知A的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得，当全为零或全为零时，，否则。而 故 2）用初等变换法求矩阵的秩 例3 求矩阵的秩。 解 将A化为行阶梯阵，即 当 当 当 当 讨论n阶方阵A的秩 解 将A化为行阶梯矩阵，即 当 当 当 当. 3)用性质求矩阵的秩 例5 设A为n阶方阵，且，试证。 证 已知即，由性质知 所以成立 设A为阵，Ｂ为阵，则 如果时，证明； 如果且，试证。 证 （1）由秩的性质知 ，则，故AB不满秩，即。 （2）由秩的性质知 故 设为的转置伴随阵，试证 证 （1）当时，则，由知，两边取行列式得 ，即，所以。 当时，由定义知A有阶子式非零，这时，即，而，由性质知，推得，综上可得。 综上所述 4）用有关结论求矩阵的秩 例8 设阶非零实方阵满足，求。 解 解法1 因为，不妨设，由行列式的定义知 所以 解法2 由知，再由及 知时，要使，且，只能。 例9 已知A为阶矩阵，且，求的值。 解 因为为可逆阵，由结论知AB不改变A的秩，故 5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例10 设A为实矩阵，证明。 证 分析 只要证明线性方程组与同解即可。这时基础解系的向量个数必相等，即，得。 设有满足，左乘得，即也是的解。 设有满足，左乘得，即得， 即也是的解。 综上所述与同解，故成立。 6）齐次线性方程组的求法 例11 求齐次线性方程组的通解。 解 解法1 系数矩阵经过行初等变换得 由知方程组有无穷多组解，得同解方程组 移项后得 令得 其中为齐次方程的一个基础解系。 解法2 由解法1可知。 令，得；令，得 齐次方程的通解为 其中为齐次方程的一个基础解系。 注 两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。 例12 设齐次线性方程组的系数矩阵为A，且存在三阶方阵，求 （1）的值； （2）B的行列式。 解 （1）由题意