第三章线性代数方程组解法.ppt

第三章 线性方程组的数值解法 讨论线性方程组解法的必要性 工程实际中的许多问题都归结为解线性方程组,我们知道线 性方程组 a11x1+ a12x2+ …+a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+ …+a2nxn=b2 ……… an1x1+ an2x2+ …+annxn=b2 即 Ax = B 若|A|≠ 0, 根据克莱姆(Gramer)法则, 方程组有唯一解 Xi=Di/D ( i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的。一 个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍 入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考 虑加减，仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般 情况下难以容许的。因此 , 我们要讨论线性方程组的另外两种 解法: 直接法和迭代法。 解线性方程组的直接法和迭代法 一、直接法 经过有限步运算就能求得精确解的方法。 包括： 1. 顺序高斯消去法 2. 选主元高斯消去法 3. 高斯—约当消去法 4. 矩阵三角分解法 二、迭代法 用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。 包括： 1. 雅可比迭代法 2. 赛得尔迭代法 3. 松弛迭代法 下面我们将介绍解线性方程组的直接法。 第一节 顺序高斯消去法 一、顺序高斯消去法的基本思想 顺序高斯消去法分为消元和回代两个过程。 首先应用矩阵的初等变换将系数矩阵A按自然顺序化为上三角矩阵，与此同时将方程的右端向量B增补作为A的第n+1列，构成增广矩阵，同时参加变换。然后应用回代过程计算方程的解。 二、顺序高斯消去法举例 例 2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1) x1 + 4x2 - 5x3 = 3 (2) 6x1 - x2 +18x3 = 2 (3) 解 a. 消元过程 第一次消元： (1)×(-1/2)+(2) 、(1)×(-6/2)+(3) 得 2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1) x2 - 3x3 = 1 (2) -19x2 + 30x3 = -10 (3) 第二次消元： (2) × (-(-19)/1)+(3) 得 2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1) x2 - 3x3 = 1 (2) - 27x3 = 9 (3) b. 回代过程 x3 = 9/(-27) = -1/3， x2 = 1 + 3x3 = 1-1= 0， x1 = (4 + 4x3 - 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)-6×0)/2 = 4/3 三、一般线性方程组的求解过程(第k次消元及回代过程) 第k次消元过程: