第三章-2 线性代数方程组的迭代法.ppt

§3.5 解线性方程组的迭代法 /* Iterative Methods for Solving Linear Systems */;迭代格式的构造;将上式写为迭代过程 这种迭代过程称为逐次逼近法，B 称为迭代矩阵。 ;问题： 是否为方程组Ax=b的解？;迭代法的收敛条件;定理3.5.4;①;（4.1） ;若系数矩阵非奇异，且 (i = 1, 2,…, n)，将方程组;然后写成迭代格式;写成矩阵形式：;;; Algorithm: Jacobi Iterative Method Solve given an initial approximation . Input: the number of equations and unknowns n; the matrix entries a[ ][ ]; the entries b[ ]; the initial approximation X0[ ]; tolerance TOL; maximum number of iterations Mmax. Output: approximate solution X[ ] or a message of failure. Step 1 Set k = 1; Step 2 While ( k ? Mmax) do steps 3-6 Step 3 For i = 1, …, n Set ; /* compute xk */ Step 4 If then Output (X[ ]); STOP; /* successful */ Step 5 For i = 1, …, n Set X 0[ ] = X [ ]; /* update X0 */ Step 6 Set k ++; Step 7 Output (Maximum number of iterations exceeded); STOP. /* unsuccessful */;… … … …;BG-S;注：这二种方法都存在收敛性问题。在讨论收敛性之前我们先来讲一些预备知识和有关的定理 ;二、 可约矩阵与不可约矩阵;三、 有关性质;定理3.5.9 设A是不可约对角占优矩阵， 那么A是非奇异矩阵.; Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性;定理（3.5.12，3.5.13，3.5.14 ）如果A是按行(列)严格对角占优的矩阵，那么Jacobi和G－S迭代法都收敛.;注意的问题;举例;系数矩阵A是正定矩阵，因此用 Gauss-Seidel法收敛.;3．超松驰法（Sequential Over-Relaxation);超松弛法的收敛性