线性代数课件-第三章-矩阵的初等变换与线性方程组——习题课.ppt

线性代数;第三章

矩阵的初等变换与线性方程组;2025/4/10;2025/4/10;１初等变换的定义;初等变换;反身性;三种初等变换对应着三种初等矩阵．;〔１〕换法变换：对调两行〔列〕，得初等

矩阵．;〔２〕倍法变换：以数〔非零〕乘某行〔

列〕，得初等矩阵．;〔３〕消法变换：以数乘某行〔列〕加到另

一行〔列〕上去，得初等矩阵．;经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩

阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全

为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的

行数，阶梯线的竖线〔每段竖线的长度为一行〕

后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第

一个非零元．;经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一

步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一

个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都

为0．;对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到

矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩

阵，其余元素都为0．;所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一

个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的

矩阵．;定义;定理;2025/4/10;定理;齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形

矩阵，写出通解．;定理;一、求矩阵的秩;求矩阵的秩有以下根本方法;〔２〕用初等变换．即用矩阵的初等行〔或

列〕变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶

梯形矩阵的秩就是其非零行〔或列〕的个数，而

初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩

阵中非零行〔或列〕的个数就是原矩阵的秩．;例１求以下矩阵的秩;2025/4/10;注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可

以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成

阶梯形．;当方程的个数与未知数的个数不相同时，一

般用初等行变换求方程的解．;例２求非齐次线性方程组的通解．;2025/4/10;2025/4/10;由此可知，而方程组(1)中未知

量的个数是，故有一个自由未知量.;例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非

零解，并且求出它的通解．;2025/4/10;从而得到方

程组的通解;2025/4/10;2025/4/10;解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形;2025/4/10;三、求逆矩阵的初等变换法;例４求下述矩阵的逆矩阵．;2025/4/10;注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终

用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用

初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其

间不能作任何行变换．;四、解矩阵方程的初等变换法;例５;2025/4/10;第三章测试题;4．线性方程组;二、计算题;2．求解以下线性方程组;有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，

求其通解．;三、利用矩阵的初等变换，求以下方阵的逆矩阵;测试题答案;2025/4/10;2025/4/10